青科大电磁场与电磁波复习教案汇编

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1、1,第一章 矢量分析,2,1. 矢量的标积（点积）,矢量的标积符合交换律,3,2.矢量的矢积（叉积）,用坐标分量表示为,写成行列式形式为,方向：右手螺旋法则,数值大小：,4,第2章 电磁场的基本规律,5,2.2.2 静电场的散度与旋度,高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止 于负电荷。,静电场的散度（微分形式）,1. 静电场散度与高斯定理,对上式两边取体积分，并利用散度定理可以得到静电场的高斯定理（积分形式）,表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关；静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称为发散源；为负，称为汇聚源。,若电荷分布具有一定对称性，可利用高斯定理方便的计

2、算电场强度。,6,当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。,3. 利用高斯定理计算电场强度,具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：,球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,7,无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。,轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。,(a),(b),8,例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。,解：（1）球外某点的场强,（2）求球体内一点的场强,9,10,2.3.2 恒定磁场的散度和旋度,1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理,磁通连续性原理表明：恒定磁场是无散

3、场（无通量源），磁场线是无起点和 终点的闭合曲线。,恒定场的散度（微分形式）,磁通连续性原理（积分形式）,安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。,恒定磁场的旋度（微分形式）,2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理,安培环路定理（积分形式）,11,由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。,3. 极化电荷,( 1 ) 极化电荷体密度,在电介质内任意作一闭合面S，只有电偶极矩穿过S 的分子对 S 内的极化电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元 dS ，则穿出面积元dS的正电荷为：,

4、与之相对应，留在闭合面S内的极化电荷 量 为,12,( 2 ) 极化电荷面密度,紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元 的极化电荷为,故得到电介质表面的极化电荷面密度为,13,4. 电位移矢量 介质中的高斯定理,介质的极化过程包括两个方面： 外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷； 极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。,介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：,14,小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为,引入电位移矢量（单位为C/m2 ),将极化电

5、荷体密度表达式 代入 ，有,则有,其积分形式为,（积分形式）,（微分形式），,15,3. 磁化电流,磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。,考察穿过任意围线C所围曲面S的电流。只有那些环绕周界曲线C的分子电流才对磁化电流有贡献。与线元dl相交链的分子电流，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流,穿过曲面S的磁化电流为,（1） 磁化电流体密度,16,由 ，即得到磁化电流体密度,在紧贴磁介质表面取一长度元dl，与此交链的磁化电流为,（2） 磁化电流面密度,则,即,磁介质表面的切向单位矢量,17,4. 磁场强度 介质中安培环路定理,分别是传导电流密度和磁化电流密度。

6、,将磁化电流体密度表达式 代入 ， 有, 即,外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度B 应是传导电流和磁化电流共同激励的结果：,定义磁场强度 为：,18,则得到介质中的安培环路定理为：,磁通连续性定理为,小结：磁介质中的基本方程为,（积分形式）,（微分形式）,19,2. 位移电流密度,电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。,注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流； 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。,位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不

7、同，它不产生热效应。,位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。,20,2.6 麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场 的基本方程,2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式,21,2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式,22,2.6.3 媒质的本构关系,代入麦克斯韦方程组中，有：,各向同性线性媒质的本构关系为,23,时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。,时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体 电磁场

8、。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。,在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。,24,2.7.1 边界条件一般表达式,25,两种理想介质分界面上的边界条件,2.7.2 两种常见的情况,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故,26,2. 理想导体表面上的边界条件,理想导体表面上的边界条件 设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故,理想导体：电导率为无限大的导电媒质,特征：电磁场不可能进入理想导体内,27,例如： 磁感应强度B=ex2x + ey (4y2z)e

9、z (y + mz)，式中的m值应为( )。 A. m = 2 B. m = 3 C. m = 4 D. m = 6,已知z0的半无限空间为2=30的电介质，z0的半无限空间为空气1=0，空气中的静电场E1=ex3+ez9，则电介质中的静电场为( ？ ),28,第3章 静态电磁场及其边值问题的解,29,3. 电位差,上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。,30,6. 静

10、电位的边界条件,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,若介质分界面上无自由电荷，即,导体表面上电位的边界条件：,由 和,常数，,31,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即,1. 电容,孤立导体的电容,两个带等量异号电荷（q）的导 体组成的电容器，其电容为,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,32,解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，

11、,例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,33,2. 电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,34,2. 恒定电场的边界条件,场矢量的边界条件,即,即,电位的边界条件,35,2. 磁场能量密度,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,36,1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,3.5.1 接地导体平面的镜像,镜

12、像电荷,电位函数,因z = 0时，,q,有效区域,q,37,上半空间( z0 ）的电位函数,q,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,38,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。,显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 ),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。,电位函数,q,d1,d2,1,2,R,R

13、1,R2,R3,39,3.5.2 导体球面的镜像,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。q应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。,方法：利用导体球面上电位为零确定 和q。,问题：,P,q,a,r,R,d,40,41,可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,42,第4章 时变电磁场,本章内容 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.

14、4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场,43,4.3 电磁能量守恒定律,讨论内容,坡印廷定理,电磁能量及守恒关系,坡印廷矢量,44,其中：, 单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量, 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率, 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率,表征电磁能量守恒关系的定理,积分形式：,坡印廷定理,微分形式：,物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。,45,定义： ( W/m2 ),物理意义：,的方向 电磁能量传输的方向,的大小 通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率,描

15、述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量,坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）,46,4.5.1 时谐电磁场的复数表示,时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。,设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成,其中,时间因子,利用三角公式,式中的A0为振幅、 为与坐标有关的相位因子。,47,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量,照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成,各分量合成以后，电场强度为,有关复数表示的进一步说明,48,例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式,（2）,解：（1）由于,（1）,所以,49,从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程,4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程,50,导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。, 弱导电媒质和良绝缘体, 一般导电媒质, 良导体,51,4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量,时谐场中二次式的表