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1、山东师范大学 硕士学位论文 在高中数学新内容教学中渗透数学思想方法的研究 姓名：王芳 申请学位级别：硕士 专业：学科教学数学 指导教师：马顺业 20040426 独创声明 吼5 9 8 4 4 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学 位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：己药 签字日期：2 0 0
2、 4 年牛月L 占日 铷橼却毡 0 或 a x 2 + b X + “O ，使学生从函数值变化的形式上理解它的联系。从图象的性质上 说，二次函数图象与X 轴的交点的横坐标就是相应二次方程的实根，图象上 使函数值大( 小) 于零的X 的取值范围就是相应二次三项式大( 小) 于零的 解集，其解集端点就是图象与X 轴的交点( 或二次方程的根) 。这就从数与 形的结合揭示了抛物线与x 轴的交点情形，二次三项式的分解和值的符号， 二次方程的根的问题都与判别式相关联，使学生认识到二次三项式是问题的 “源”，通过直角坐标系的“渠”、“流”经二次方程和二次不等式，形成清 晰的“源流”脉络，使学生学生在解有关二
3、次式的问题时，能发挥它们的关 联作用，缩减思维过程。利用数学思想方法沟通相应知识点间的联系是一项 重要的教学活动，不仅可让学生认识问题的实质，而且能使他们在运用中产 生联想，获得迁移知识的途径，呈现思维的广阔性。 第三节在解决问题的过程中渗透数学思想方法，培养学生思维的灵活 性和创造性。 新大纲指出：“要加强对解题的正确指导，应引导学生从解题的思想方 法上作必要的概括”。而化归、数学模型、数形结合、类比、归纳猜想等思 1 4 想方法都是解题思路分析中必不可少思想方法，是一种思维导向型的思想方 法。如化归是解题的一种基本思路，学生一旦形成了化归的意识，就能化未 知为己知、化繁为简、化一般为特殊，
4、优化解题方法；而利用数形结合的思 想就可借助于图形的直观，数的精确，帮助学生理解题意，化抽象为具体， 化难为易。由此数学思想方法在解题思路探索中的渗透，可使学生的思维品 质更具合理性、条理性和敏捷性。还利用数学思想方法变换问题的形式，变 通数学问题，培养学生思维的灵活性和创造性思维。如课本中余弦定理的求 边的基本形式是c 2 一a 2 + b 2 - 2 a b c o s C ( 只取其中一式) ，学生只会解简单的已知 a , b 和角C ，求c 边的问题是远远不够的。由此我启迪学生用分类讨论的思 想研究它的变式。( I ) 若给出a 、b 边的某种关系，如a + b 、a b 和C ，如何
5、 求c 边昵? 让学生思考，他们能用配方法把原式变换为c 2 = a 2 + b 2 _ 2 a b ( 1 + e o s C ) 这类问题常常与三角形的周长、面积，或与二次方程的韦达定理相关。( 2 ) 已知a 、c 和角C 怎样求b 呢? 通过学生讨论的研究能获得变式： b 2 + ( - 2 a e c o s C ) b + a 2 - c 2 = O ，这类问题把关于b 的二次方程的正数解与三角形的 解相联系，从而开辟了用正弦定理解已知两边和其中一边的对角解三角形的 另一途径。这种问题的变式是较高层次的思维教学，能使学生打破思维定势， 开拓深层次的知识，把握基本问题中所演生出的不同
6、类型，从而获得上升性 思维能力。 总之，数学思想方法是数学问题的本质反映。因此，在课堂教学中渗透 数学思想方法去指导教学，不仅可让学生获得教材以外的思想方法，而且能 显现教材本身隐含的思想方法，使学生充分认识问题的本质特征，促使学生 学会数学，养成用数学的意识。由此可见，这种将基本数学思想方法和知识、 技能融为一体的课堂教学，能有效地为学生“减负”，避免后进生的分化， I 值得人们深入的思考和实践。 第四章进行数学思想方法教学需要注意的问题。 第一节教师要完善自己的知识结构 在基础教育阶段，数N T J 计的学生在学 - - j 数学课，课程设置的目的，并 不是要把他们都培养成职业数学家；而是
7、要他们获得作为文化的一种数学素 养，从课程中获得两种教益：有实用价值的数学知识内容和具有更广泛意义 的数学思想和方法。这就是数学课程设置目的中的“实用性和育智性。”数 学教师要使学生获得这样的素养，仅仅增加自己的现代科学知识是不够的， 还必须做到以下三点：( 1 ) 通过一些重要的事例从历史上了解前人是怎样 “寻找、发现、构建”数学成果，他们积累了那些数学思想和数学方法：( 2 ) 了解课程知识在相邻近领域中的应用实例；( 3 ) 自己要有一些独立进行数学 研究和探索的经历和经验，这经验既可以来自数学科学研究实践，也可来自 “课程层次”的数学问题研究，材料未必是前沿的，但用到的数学思想方法 确
8、是至关重要的。学生关心的是如果遇到问题后，老师是怎么想的? 所以教 师在思考问题时就应以数学思想方法作为指导，使数学思想方法的使用成为 一种有意识的行动，只有这样以身作则，才能使数学思想方法的教学落到实 处。以上三点，都是在以所任课程为中心来整合与完善自己的知识结构；这 是一种基于课程、高于课程的知识整合。教师那一桶水中，有了经过这样整 合与完善的“水”，倒给学生的一杯水就不会是“凉白开”，而是“营养剂” 实现素质教育的目标就有了切实的根基。 第二节教师思想观念要转变，要有自觉强化数学思想方法教学的意 识。“在学校课程中，数学的思想方法应占有中心地位，占有把教学大纲中 所有的为数很多的概念，o
9、 i ：苇r 的题目和章节联结成个统一的学科的杨【- 地位”。 1 6 从这一思想出发，新大纲第一次明确在基础知识部分指出数学思想方法这个 精髓，这就对数学教育工作者提出了更高的要求。一方面要明确数学思想方 法是数学素养的重要组成部分，突出索质教育就不仅要掌握知识、技能，而 且要达到掌握、领悟数学思想方法的程度，这是新大纲的基本要求；另一方 面，数学思想方法是渗透在知识的发生过程之中，教材中并没有明确指出， 这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟教材内容隐含的思想方法，把握教 材实质，把教材内容本身的数学思想方法因素与其本身有机地结合起来，在 教学过程中使处于自发状态的隐性的思想方法的渗透转化为
10、自觉状态的隐 性的思想方法的渗透，使学生在潜移默化的过程中逐步领悟并学会运用这些 思想方法去解决问题，使数学思想方法逐步内化为学生个体的思维品质。 第三节数学思想方法教学要循序渐进 在数学思想方法的教学中，学生对数学思想方法的领会和掌握要遵循从 个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级的认识规律。由 于与具体数学知识相比较，数学思想方法更为抽象概括，因此这个认识过程 具有长期性和反复性的特征。数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技 能的掌握需要有个循序渐进的过程。学生在具体数学知识的学习中，对于 蕴涵在其中的数学思想方法开始只能形成初步的感性的认识，经过多次反 复后，在较为丰富的
11、感性认识的基础上，才能逐步抽象、概括而形成理性认 识。从个较长的学习过程来看，学生对每种数学思想方法的认识都是在反 复理解和运用中形成的，其间有一个循序渐进、螺旋上升过程。因此，数学 思想方法教学应与知识教学、学生的认识发展水平相适应，按照反复孕育、 初步形成、应用发展的顺序逐步完成。切忌操之过急、一次完成。只有采取 “小步走”、“多层次”、“步步为营”的方法，才能真正取得效果。为此可将 1 7 数学思想方法教学分为“渗透孕育期”、“领悟形成期”、“应用发展期”和“巩 固发展期”四个层次。 第四节数学思想方法的教学要始终在学生的参与下进行 数学知识教学与数学思想方法教学有着明显区别。数学知识教
12、学是数学 认识活动结果的教学，呈静态型，重在记忆理解；数学思想方法教学是数学 认识活动过程的教学，呈动态线墅，重在思辩操作；离开数学活动过程思想 方法也无从谈起。这就要求在实际教学中，教师要特别注重营造教学氛围， 要给学生提供思想活动的素材、时机，悉心引导学生积极主动地参与到数学 知识的发生过程中，在亲自的实践活动中接受熏陶，不断提炼数学思想方法、 活化数学思想方法，形成用数学思想方法指导思维活动，探索问题解答策略 的良好习惯。同时要注意引导学生自己提炼数学思想方法。柏拉图说，他从 不把自己看作是一个教师，而是看作一个帮助别人产生他们自己思想的“助 产士”。学习的一条重要原则就是不可替代原则，
13、这就要求教师引导学生学 会自己提炼数学思想方法。 第五章在高中数学新内容教学中渗透数学思想方法的研究 数学思想和方法是数学的精髓，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的 全过程，对它的灵活运用，是数学能力的集中体现。在学习的过程中应该对 数学思想方法和数学基本方法进行梳理、总结，逐个认识它们的本质特征、 思维程序或操作程序，并最终能灵活运用它们解决问题。新增数学知识更加 丰富，完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间。如，通过 向量运算，可有效揭示空间( 或平面) 图形的位置或数量关系，由定性研究 变为定量研究，是数形结合思想的深化和提高；通过求导数，可简捷地解决 曲线的切线的问题，瞬时
14、速度、加速度等问题；概率统计为人们处理现实数 1 暑 据信息、分析、把握随机事件、评价、决策现实问题，提供了强有力的工具； 计算随机事件发生的概率、求随机变量的期望值与方差、会用样本特征值估 计总体、用样本特征分布估计总体分布等，这不仅是高考的要求，更重要地 是能有效促进学生综合文化素质的形成和提高。 第一节在平面向量教学中渗透数学思想方法 在几十年来的国内外数学教育改革中，向量进入中学是一个重要特征。 许多国家的课本里都不同程度地介绍向量知识。苏联7 0 年代以来的数学教 育改革，致力于用向量、变换等观点来改革传统的欧氏几何；在弹性较大的 日本高中数学课程中，必学内容虽所占学分较少，却安排了
15、为数不少的向量 知识。我国自7 0 年代以来有不少向量进入中学数学教材的实验，特别是在 由国家教委组织编写的中学数学实验教材、人民教育出版社编写的高 中数学实验课本中，却在将向量渗入中学数学，用向量方法处理几何、三 角等问题方面作了不少有益而成功的探索；从而使这次改革中将平面向量引 进高中数学成为一件顺乎情理、水到渠成的事。新大纲里关于平面向量 的主要内容有：向量及其加减法、数乘运算、数量积运算、向量的坐标表示 以及向量在其它领域的应用，如推导正余弦定理、求线段的定比分点、两点 间的距离、处理有关度量、角度、平行、垂直等问题都有独到之处。有时， 利用向量所建立的数与形的对应关系，使一些较为复杂
16、的证明恒等式、不等 式等问题显现出十分简单的向量关系模型，从而轻而易举地获得解答。从上 看到，平面向量在中学数学里扮演着极为重要的角色，而且与物理课里力学 等内容的学习相互呼应。应该说这一部分用时虽少，但收益却很大。特别是 在此基础上引进的空间向量在处理一些立体几何问题时又显得极为方便，一 个颇有说服力的例子就是用向量给出的直线与平面垂直的判定定理的相当 1 9 漂亮的证明。 1 在平面向量基础知识教学中渗透数学思想方法。 在引入向量概念及其加减法运算时可采用类比物理中的位移、力的概念及其 运算而得出，可使学生在理解时感到轻松。知识的学习过程，用建构主义的 观点来看，是在已有认知结构基础上重新建构认知结构的一个过程。当新的 进入大脑时，如果能够将原有认知结构纳入新的认知结构，就会产生正向迁 移。倘若新旧知识发生冲突时，将新的知识简单地并入原有认知结构中，就 易产生负迁移。向量的运算虽是建立在新的运算法则上，但与实数的运算有 许多相似之处。因此在教学中，应有意识地引导学生对新旧知识进行大胆类 比，从而产生知识的正迁移。如，相反向量的概念可与相反数的概念想
