在处于mott态的boseeinstein凝聚体中制备最大纠缠态的解析性分析

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1、南开大学 硕士学位论文 在处于Mott态的Bose-Einstein凝聚体中制备最大纠缠态的解析 性分析 姓名：李敏斯 申请学位级别：硕士 专业：理论物理 指导教师：葛墨林 20040510 E x p l i c i tA n a l y s i s o fC r e a t i n gM a x i m a l l yE n t a n g l e dS t a t e i nt h eB o s e E i n s t e i nc o n d e n s a t e s M a j o r ：T h e o r e t i c a lP h y s i c s A u t h o r

2、：L iM i n s i A d v i s o r ：G eM o l i n M a t h e m a t i c a lI n s t i t u t eo lN a n k a iU n i v e r s i t y A b s t r a c t W e c l a r i f yt h ee s s e n c eo ft h em e t h o dp r o p o s e di nR e f 9 lt oc r e a t em a x i m a l l y e n t a n g l e da t o m i cN G H Z s t a t ei nt h eM

3、o t tI n s u l a t o rS t a t eo fB o s e - E i n s t e i ne o n d e n ” s a t e s 。B a s i n g 。nt h en o n d e g e n e r a t ep e r t u r b a t i o nt h e o r y , W ef i n d t h a tt h ev a l i d i t y o ft h em e t h o dc a nb es u m m a r i z e da st h a tt h em e c h a n i c so fc r e a t i n g

4、m a x i m a l l ye n w t a n g l e ds t a t ei ni o nt r a p 2 0 K e y w o r d s ：N G H Zs t a t e ，B o s e - E i n s t e i nc o n d e r m a t e s ，M o r tI n s u l a t o rS t a t e ， n o n d e g e n e r a t ep e r t u r b a t i o nt h e o r y , 第一掌缝论 纠缠态的剃备谯迓卡多年寒燕甥理学爨鹤一个热门话鼹，这一镢域秘涎个 麓要鲍方岛有燕；( 1 ) 实

5、验上对B e l l 不簿式蛹检验；( 2 ) 量子信息过稷一 擞子传输和量子计算过程的物理震现程这两个方向中，纠缝态都舆有稚常重 骚的蛾经，这是跟纠缝态独特的一瞧质密甥耀关瓣。 纠缠态鲍基本特点是具有经典概念羹露所没有酶奇特匏嚣定域关联，正是 出乎邋个特霞，使褥它在璧子力学和定蠛决定健理论酌争论酾历史中起了很关 键的侮用纠缠愁的本质，是惑藏加原理在多敝子体系中的体现在数学上纠 缠态可以简单媳定义为这样的多粒子态，无论怎样都不能撤它写为革粒予的态 的秉嘏形式，褥必须筵多个这释澎式蘸豢粕。滠翠提出来的一释纲缀态，藕是 根有名的E P R 对，是由E i n s t e i n 和他的合作者在考察

6、擞子力学的完备性蹙意识 铡酌。在他们的一篇经典文献中【1 1 健稍考煮了这种特殊的二粒子态，发现由 整予力学秘壤沦这弹E P R 辩一焱要具寄一释锈经静嚣定竣荧联，蓉刘测军莲 原理就不能成立，渐在他们看来，这种关联魑很不合耀的，因此只熊是量子力 学静爨论考麓题，E P R 辩的这释菲定城关联，詹来函B o h m 通过一种受簿证 瓣方姣来接述蹬采。毽把E P R 黯震塞旋瓣黟裁表示碧： 1 l 量) = 釜( 1l t ll b l1 ) l ll 2 ) ， ( I I ) VZ 蕤串ll ；，l 代裁藜i 个粒子瓣鑫旋筹三分鬟起上或彝下懿态。这个态的嚣定 域关联是说，在没有实验测量之前，这

7、两个粒子的自旋第三分量都既向上而又 灏下，无法臻定，蠛是在实验枣毙测缮第一个黢子懿巍旋第三努虽怒囱上( 蠡 下) 瓣，郡么第二个粒子的囊旋第三分量必定爨向下( 岛上) 的，或者糖反，先测 得第二个粒子的自旋第三分鹾魁向上( 向下) 的，那么第个粒子的商旋第三分 整妊定是彝下f 自上) 瓣，强鼹，哭要定搬其中一个蛙子的状态，臻幺男一个粒 子的状态也麟确定了。针对于邈黏非定域睦，人们提磁了寇域决定撼的璎论， 企图厢这种学说来描述微观世界，于是便开始了著名的量子力学和嶷域决定性 l 第一霉绪论 2 理论静争论为了舞清这一嗣题，1 9 6 4 年，B e l l 提出了他的著名的B e l l 不等式

8、 作为这两种理论孰对孰镄的实验上的判据根据B e l l 的理论。如祭实骏中测 嫩发现在系统处于菜整状淼对B e l l 不等式不成立，也就是被破坏了，鄢么菔不 存在合瑾静意城决定毪理论在爨予力学的遵论串，慈统娃子毫狡态对怒不会 破坏B e l l 不等式的，因此真正要研究的邂足具肖非定域若联的纠缠淼予攫， 在研究B e l l 不等式游实验赛理的阏对，鞠缠惑的研究魂在不断的向前发麓要 进行B e l l 不等式懿实验，一个摄黧要戆懿挺楚耍寿会瀵静鲻缱态瓣为了褥羁 合适的纠缠态，制酱纠缠态理所幽然地就成为一个很爨要的问题 绸缠态嚣迩域关联秘特意麓多粒子态鼗嬲静本骚也蘧褥它在爨子翁惠学 懿溅淀穰

9、实骏枣舞骞重要戆意义。量子蒋羧簧黻续缝怒来瓣筏子终海僖爨魏媒 介辨利用纠缠态中粒子问的非定域关联m 而在量予计算中，纠缠态魑一种 将豫懿多柱子爨趣态，它翡潮餐对应着羧裁嚣门f C N O T ) 的塞褒瓣，霾魏，在 鐾予壤塞懿领域璧瞧器要骚究务耪类受媳魏绫态静裁强 伴随着遮两个领域的发展，纠缠态的制备的研究嫩到报高的关注，弗且和 这魏个领壤一起遘步。最懿缒鲻缝态酶铡备，主要是糕餐毙予f 无爱爨靛子) 鲍 缎缝惑 5 ，嚣隧蓉实验技零酶逡濒成熟，入# l 强始考虑寿艨量粒子鳓纲壤，铡 如基本粒子，以及在凝聚态中的粮子之悯的纠缠【7 ，8 】 在凝聚态孛剃冬鳆缠杰，其中戆一个方疑鼹在B o s c

10、 - E i n s t e i n 凝聚嚣( B E C s ) 中制备翱缠态+ 邀个方向怒在避几年开娥梭人们注意刘的冷，1 0 ，l l ，1 2 ，1 3 ，1 4 ， 1 5 ，1 6 ，1 7 - 在近十凡年中，关于B E C s 的研究成就辜著，圆丽人们很自然的会 对这独盘宏溉波濒数描写的多敝予系统中的纠缠态的性质发生兴趣。避几年 的个很重要关予B E C s 的工佟是扶实验上骏证了在光格B E C s 中存在超流一 M o r t 态鲍量子褶嶷i i 酥这种裙变可l 冀搬穗B o s e - H u b b a r d 模型来解释【l9 根 据B o s e - H u b b

11、a r d 横型，光格B E C s 系统的基懋有两个参数决定：( 1 ) 在同一个 格子中的骧予榴置作用强度阮2 ) 在疑相邻的格子之闻的原子跃迁率，。这 两个参数静佟用燕稿爱静，参数U 懿佟耀蔗令藤子竭藏在菜个捂子上，褥参数 第嘲章对H = 霹+ f ! 矗的徽扰论处埋 J 刘魑令原予在各个格予之间跃溉，弥漫在整个空闯串，因此，当了U 时， 蔗态的原子弥漫在憋个空间中，处于超流态；弼当J U 时，原子被局域在各 个格子上，称为M o t t 态+ 农后面的这种情况审，每个格子墓丽都有捆筒数锺的 不多的托个激予 l 磷，因魏布黥霭 筝螯予诗簿率戮漾子为爨子彗二将的蘩既 同时，由于在憋个累统中

12、霄很多个相同的格子，如果我们在这些格子中制铬了 弼样酌纠缠态，那么当我们测量这种纲纛态葑尊，每个格子辩测薰来说都熬一样 弱，潮蛇莓懿使褥涮鼙荔予遘蟹障 在文献f 9 1 中，尤力提出了一种方法在B E C s 的M o r t 态中制各最大纠缒态， 这静方法串考虑的燕一卞= 模B E C s 静瑜密镶璧，并藏由予M o t t 态中餐个裾 子鬻没有跃逸，蔻猿立戆，濯戴疑爨考虑一个揍手，瀵礴个褥点豢晕奠更零之蘩 在文献f 2 0 1 中考虑在离子阱中制备最大纠缠的情况相同，耐且，这两个文献中 所要求兹耪态秣豪杰都是裙两鹣，所蘑懿耱餐绸缝静穗互佟蔫形式瞧禳稳经。 煎燕鼹个文敲审辑怒戆裁餐纲缝戆摆互

13、褥薅劳不完全魁穗瓣鳇：嚣鼹，谯文献 9 1 中所用的怒数值计算的方法，而文献 2 0 J 划给了解析性的分析邪么，这两 耱方法辑分别对应黪两释绸缱形藏匏撬割之阕是否存寝一骜梭表露上瓣不藏瑟 筵羲零质上黪共斌之处昵? 搴文暹过对文献磁孛涉及秘时阕演化搬瓤遴蠢教 扰论的分析，结果发现这种在B E C s 的M o t t 态中制锝最大纠缠态的机制和文 漱瓣l 孛在襄予辫中割备最大纠缓泡撬爨熊奉艨是糨霹鳇，隧绕善这个阗题，我 蚋逡棒来安摊一下章节；裰按下来的第二章，我们先讨论程离子阱中制铸最大 纠缠的机制，然詹在第三章我们讨论在文献嘲中提出的柱B E C s 的M o r t 态中 刿备最大纠缝态的

14、方法，农这灏鬻的走旃的熬端上，我们在第四章申绘出文献 9 1 柱B E C s 鹪M o r t 态中制备簸大纠缠态的机制的近似的解析形式，从箭指出 这种方法与文献【2 。j 中的方法在本质上酾穗蠲点，在最瑶一章我稍简草越总结 我蛔所得到的结论。 第二章在离子阱中翩备最大绷缠态 最大纠缠态的制备，从数学上来说，是爵求一个时间演化算子，使得系统可 敬囊一定戆穰态演晓蘩最大绸壤态上，在逡蓬，我稍讨论稳这秘最大纲缝态， 当粒子数为N 时。形式为： t N G H Z ) 2 壶( “ ”+ e ”咿) t ( 2 1 ) 邋巾最大绷缝态氇称为N G H Z 态，其中 1 ) 8 “，| t 。”势N

15、 个粒子垒都娃于| 弱 和lT ) 上时的憝个系统的态，丽I1 ) 和lT ) 为单个粒子的内部状态，为了方便 起见记为自旋淼+ 在文献曙诬中，M o l m e r 秘S o r e n s e a 擞出了在离子阱中制备 送释最大鲻缝撩静一耱方法+ 檄据这秘方滚，选择lD 。( 或 。) 为拐态，在 邂当的时刻，系统就会演化到态( 2 1 ) 上演化过程的关键是一个哈密顿匿： H = 五2 十Q 五，( 2 2 ) 其中歹是N 个被子的自旋求酾在此，我们先讨论如何出这个暗密顿缀使得系 统由一个直积态演化成为最犬纠缠态，然詹再说明这个晗密顿量是如何在离子 辨中褥裂的，懿舞注意鲍是，参数Q 是可

16、潺黪，两且逶予铡各最大纠缝鳃僵依 赖于粒子数是旃数还是福效 解释如何豳哈密顿量( 2 1 ) 得到纠缠的麓本思路是：首先，我们选择在令H 霹以簿单的对建佬的基组下述行讨论；接豢，我们要裁艘在此基组下赢袄态积 最夫纲缠态之溺静变换算符最的矩簿形式； f N G H Z ) = R li ) 洲，( 2 3 ) 最后，我髓要确定在Q 程对蘩r 势鼹馕薅，对麓演诧篓子r ) 秘变换矩 阵R 是福等的( 崴相差一个整体因子) ，这时便有如果f 妒( o ) ) = fi ) 洲： l 母盯) ) = u p ) l 币( o ) ) = e 。- R l ) 如= e 。9 I 一G H Z ) ( 2 4 ) 麓够令H 辩角 二兹基缀缀显然懿蓑爨2 ，五秘共鞠本薤态 J ，m 。壹积态 怒，2 ，上的共同本征态，其巾l1 ) 。“= 1 j = J v 2 ，m = 一N 2 ) ，1T ) 。