人口增长模型_Read

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1、实验目的：,1. 介绍数学建模的基本概念；,2. 学习数学建模的一般过程；,3. 了解数学建模竞赛特点和形式。,有关数学建模竞赛的介绍,全国数学建模竞赛（CUMCM）： 每年的9月份左右举行; 2. 我们学校每年20个队左右; 3. 每个队3名同学组成; 4. 参赛费用，每个队伍200元； 5. 参赛范围，主要为中国大陆地区。,美国数学建模竞赛（MCM）： 1. 每年的2月份左右举行,4天=96小时; 2. 我们学校选拔不超过7个队; 3. 每个队3名同学组成; 4. 参赛费用，每个队伍45美圆； 5. 参赛范围，全球，主要为美国、中国、印度、英国等国家。,有关数学建模竞赛的介绍,全国大学生电

2、工数学建模竞赛,每年11月份举行; 竞赛题目一般来源于电工、近代数学及经济管理等方面，经过适当的简化、加工的实际问题，主要包括： 1电工领域中的信息、控制与决策的相关问题； 2近代数学、辨识与仿真及其应用的相关问题； 3经济管理与运筹问题； 4场论及应用问题 。,掌握数学建模知识的参考书,姜启源，谢金星 编, 数学模型, 高等教育出版社,2003年 第三版. 通过这本书的学习,可以掌握最基本的数学建模知识和能力!,其他数学建模的书,数学建模与数学实验（第二版） /赵静 雷功炎 编著, 数学模型讲义, 北京大学 谭永基、俞文(鱼此) 编著, 数学模型, 复旦大学出版社, 1997 第一版. 这些

3、书都是一些基本的数学建模资料书籍,有兴趣的同学可以借来好好看看.,李大潜主编, 中国大学生数学建模竞赛,高等教育出版社, 1998 第一版, 2001 第二版. 叶其孝主编, 大学生数学建模竞赛辅导 教材 (一、二、三、四), 湖南教育出版社, 1993-2001. 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 (1992 - 2000), 中国物价出版社, 2002. 工程数学学报 (专辑) (2002年后的每年第一期为上一年度的优秀论文),有关网站,http:/www.shumo.org 1.本网站是国防科技大学所办的一个数学建模网站,上面有许多的参赛过程以及参赛经验之谈; 2. 本网站也提供一些优

4、秀论文的下载,BBS交流等信息; 3.本网站同时也提供一些有用的数学建模所用的软件下载服务等;,CUMCM主页, 本网站提供一些CUMCM的消息,往年试题以及有关获奖名单等; 有关全国数学建模竞赛的一些规章制度; 有关数学建模竞赛的资料, 一些其它网站的介绍等;,美国数学建模竞赛主页, 提供有关数学建模竞赛的信息; 往年的竞赛试题与评奖结果; 有关资料; 竞赛结果分析等,电工数学建模竞赛的主页,http:/cseem.org/,提供有关数学建模竞赛的信息; 往年的竞赛试题与评奖结果; 有关资料;,数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题

5、本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,基本概念：数学模型与数学建模,例（人口增长模型 ）,人口问题是当今世界上人们最关心的问题。因为资源的原因，应当有效的正确的人口措施人口模型。而建立人口发展的模型不外乎预测和控制，Logistic模型是其中比较精细的人口模型。,基本假设 :,（1）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口的关系；,参数：,简单推导如下：,（2）有某一具体时刻的人口资料作

6、为参照；,N（t）：t时刻的人口数；,r：增长率比例常数；,基于以上的假设有简单模型为：,解此方程可以得到指数增长的模型为：,此解的图形为,程序为,clear N0=10; r=0.002; t=1:1000; N=N0.*exp(r*t); plot(t,N),上述模型的特点：,只要知道了初始时的人口和人口的增长率，就可以通过上述模型估计未来几年的人口数； 问题-怎样来找到初始人口和人口的增长率？,在已知数据的基础上，通过数据拟合或者参数估计来估计人口的增长率。,有关数据，请估计人口的增长率r：,因为,令,用线性随小二乘法估计参数r，,世界人口增长率最小二乘法估计,clear t=1625,

7、1830,1930,1960,1974,1987,1999; y=5,10,20,30,40,50,60; yy=log(y-4.9); R=t; r=Ryy; plot(t,exp(r*t+log(4.9); hold on plot(t,y,b.);,请大家练习中国人口增长率的估计问题，求出其增长率r=?,中国人口增长程序,clear t=1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000; y=3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0; yy=log(y-2.9); R=t; r=Ryy; plot(t,exp(r*t+log(2

8、.9); hold on plot(t,y,b.);,模型的分析,上述模型不能很好的与实际数据符合！ 请大家考虑原因是什么？ 人口增长到一定程度后，增长率要下降； 同时，人口的增长要受到资源、环境等各个方面的限制。,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,数学建模的一般步骤,数学模型的分类,

9、常见模型,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,数学建模与能力的培养,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然

10、然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？,一些简单实例,似乎条件不够哦 。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,实例编程练习：,1、设在同一方向不同位置检测了两次，测得 照度分别为3和6，两测量点间的距离为60。

11、请编程实现距离的求解。,Function juli(a,i1,i2) D=a/(sqrt(i2/i1)-1) 在matlab里面输入juli(60,3,6),可以得到 D=144.852米,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距离为a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又恰好位

12、于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。, 圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3.1605）作为的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求的努力。,的计算,古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法, 概率方法 数值积分方法,古典方法,用什么方法来计 算的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。,6边形,12边形,24边形,圆, 阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切96边形

13、夹逼的方法证明了,由 和 导出, 公元5世纪，祖冲之指出,比西方得到同样结果几乎早了1000年, 十五世纪中叶，阿尔卡西给出的16位小数，打破了祖冲之的纪录, 1579年,韦达证明, 1630年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了的第39位小数,分析方法,从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求近似值的实例。, 1656年，沃里斯(Wallis)证明,请编程序实现上述求法,取,取,function p(k) p=1; for i=1:k p=p*(2*i/(2*i-1)*(2*i/(2*i

14、+1); end p=2*p, 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有,当,function p(k) p=0; for i=0:k p=p+(-1)i)*(1/(2*i+1); end p=4*p,程序,取,取, 在中学数学中证明过下面的等式, 麦琴(Machin)给出,(Machin公式),其它方法,除用古典方法与分析方法求的近似值以外，还有人用其他方法来求的近似值。这里我们将介绍两种方法：,概率方法 数值积分方法, 概率方法,取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整 数n，重复n次，每次独立地从 （0，1）中随机地取一对 数x和y ，分别检验x2+y21是否成立。 设n次试验中等式成立的

15、共有m次，令4m/n。,数值积分方法,数学建模实验作业,1、三人一组共同完成； 2、上交作业以数学建模论文的方式上交： 论文：其基本内容和格式大致分三大部分： A）标题、摘要部分 题目写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。 摘要200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。,B）论文中心部分 1）问题提出，问题分析。 2）模型建立： 补充假设条件，明确概念，引进参数； 模型形式（可有多个形式的模型）； 模型求解； 模型性质； 3）计算方法设计和计算机实现。 4）结果分析与检验。 5）讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想。 6）参考文献注意格式。,C） 附录部分 计算程序，框图。

16、 各种求解演算过程，计算中间结果。 各种图形、表格。 3、作业完成时间： 从上第一次数学建模实验开始计算时间，用两周的时间做完，选做一题。 4. 作业上交：提交电子版本到服务器，并上交一份打印版本到上课老师处。,A题：人口模型,请在人口增长的简单模型的基础上。 （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。,近几年来，我国各大中城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难；另一方面，部分投机者通过各种融资渠道买入