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1、2019/11/9,1,数学物理方法,数学是科学的大门和钥匙，忽视数 学必将伤害所有的知识，因为忽视数学 的人是无法了解任何其他科学乃至世界 上任何其他事物的。 （英）R .培根,2019/11/9,2,教材及指导书,一、教材： 梁昆淼编，数学物理方法，第四版，高等教育出版社，2010年1月,二、主要的参考书： 胡嗣柱等 编著，数学物理方法，第二版， 北京大学出版社，2002年7月,成绩测定：作业20%上课出席参与10% 考试70% 联系方式：zyx,2019/11/9,3,第一篇 复变函数论,参考书： Lars V.Ahlfors 著，赵志勇等译，复分析 机械工业出版社，2005。,复变函数
2、论（theory of complex functions）的目的： 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。,2019/11/9,4,主要内容: 1 复变函数 2 复变函数的积分 3 幂级数展开 4 留数定理 5 傅立叶变换 6 拉普拉斯变换,2019/11/9,5,第一章 复变函数,在数学的天地里,重要的不是我们 知道什么,而是我们怎么知道什么。 -毕达哥拉斯,2019/11/9,6,目的与要求：掌握复变函数的基本概念、极限和连续 的概念、掌握解析函数的概念、函数解 析的充要条件、初等函数的定义,教学重点：极限和连续的概念、柯西-黎曼条件、 复变函数的解析性； 教学难点：解析函
3、数的概念,学习要求与内容提要,2019/11/9,7,1.0问题的提出,负数有对数吗？,Bernoulli：负数的对数是实数,Leibniz ：不可能有负数的对数,只对正数成立,Euler： 在1747年指出,差一常数,1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：,和,是同一个微分方程的解，因此应该相等,1743年，发表了Euler公式,2019/11/9,8,1. 虚单位,对虚数单位的规定:,1.1 复数与复数运算,为了解方程的需要,引入一个新数i,称为虚数单位.,(一)复数的基本概念,2019/11/9,9,2.复数的定义:,i-虚单位 满足：i2=-1,虚部 记做：Imz=y,
4、实部 记做：Rez=x,2019/11/9,10,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说:,设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2,复数不能比较大小!,2019/11/9,11,3.复数的几何表示,复数的矢量表示法,(1)笛卡尔坐标,2019/11/9,12,（）极坐标,显然下列各式成立,复矢量的长度称为z的模或绝对值,如图引入：,那么复数（复矢量）可以表示为,复数的三角表示式,2019/11/9,13,（）复数的辐角,说明,辐角不确定.,
5、2019/11/9,14,辐角主值的定义:,z0 辐角的主值,z在第I象限,z在第II,III象限,z在第IV象限,在z(0)的辐角中，把满足2的称为Arg z的主值，记作argz,2019/11/9,15,复数三角函数表示式,利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,4.复数的指数函数表示,2019/11/9,16,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,加减,z1 z2 =(x1+y1) i(x2 + y2 ) =(x1 x2) +i(y1 y2 ),（二）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符),2019/11/9,17,乘法,两个复数相乘等
6、于它们的模相乘，幅角相加,除法,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,交换律、结合律、分配律成立,2019/11/9,18,开平方,如果给定复数为 ，我们来求其的开平方。设有一个新复数 ，使得,这等价于方程组,由上述方程有,因此必须有,（1）,（2）,（3）,2019/11/9,19,由式（1）和（3），可得出,考虑到式（2），通过选择使xy积的符号与相同，则有,由（4）式，可以得出x和y各有两符号相反的值。,（4）,逼近,2019/11/9,20,共轭,共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例2,解,注意:,2019/11/9,21,共轭复数的性质:,以上各式
7、证明略.,2019/11/9,22,例3,证,.,(2),;,(1),:,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,+,+,=,证明,为两个任意复数,设,2019/11/9,23,两边同时开方得,同理可证：,2019/11/9,24,1.2 复变函数,(一) 复变函数定义,是函数,w,=,f,(z )的定义域。F是f(z)的值域.,B,设B和F是复平面中的两个集合.如果有一种对应规则f,使得B中的每个点z,都有一个唯一确定的点w F与之对应,则我们称f是一个复变量函数,或简称复变函 数,记作w=f(z)(z E).,自变量与因变量都是复数的函数,称复变量函
8、数.,2019/11/9,25,由于函数f(z)是一个复数,所以: 可以将复变函数f(z)表示为实部与虚部之和,并把实部和虚部分别记为u(x,y)和v(x,y),即, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 上式表示: 一个复变函数可以用两个二元实函数表示.,2019/11/9,26,(二) 区域的概念,邻域定义：如图，由不等式 (为任意的正数)所确定的平面点集(简称点集)，就是以z0为中心的邻域或邻域。,所确定的点集为z0的去心邻域或去心邻域。,为了给出区域的严格定义，下面先介绍：邻域、内点，外点，边界点和开集等概念。,由复变函数的定义我们知道，函数的定义域是一个满足一定条件
9、的平面点集，我们称之为区域B。,邻域,如图，而称由不等式,2019/11/9,27,设E为点集（如图），z0为E中的一点。则： 内点：如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都 属于、点集E，则称z0为E的内点； 外点：若点z0的某一个邻域内的点都不属于点集E，则 称点z0为E的外点。 边界点：若在点z0的任意一个邻域内，既有属于点集E 的点，也有不属于E的点，则称点z0为E的边界 点，点集E的全部边界点称为E的边界。,注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。,开集： 若点集E的点皆为内 点，则称E为开集。,E,z0,点集,2019/11/9,28,区域定义：点集E称为一个区域
10、B，如果它满足： (1)E是一个开集； (2)E是连通的，就是说E中任何两点z1和z2都可以用完全属于E的一条折线连接起来。,通常称具有性质(2)的 集为连通的，所以一个区 域就是一个连通的开集。,区域B加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为 .,区域,2019/11/9,29,单连通域与多连通域,设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。,单连通域,多连通域,2019/11/9,30,例1,指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,解,无界的单连通域(如图)
11、.,2019/11/9,31,是角形域,无界的单连通域(如图).,是二条幅角分别为/3的线(如图).,是以原点为中心半径为,1/3 的圆的外部,无界的多连通域.,2019/11/9,32,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,2019/11/9,33,(三）初等解析函数,1 指数函数,这里的ex是实指数函数,实的正、 余弦函数,性质：,2019/11/9,34,三角正弦与余弦函数,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,2 三角函数,2019/11/9,35,三角函数,2019/11/9,36,(注意：这是与实变函数完全
12、不同的),sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=n,cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(n+1/2),n=0,1, 2,n,(4),(5),2019/11/9,37,其它复变三角函数的定义,2019/11/9,38,3 双曲函数,2019/11/9,39,4 幂函数,(3) 令z=rei=r(cos +isin ), zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) ),2019/11/9,40,5 对数函数,因此,2019/11/9,41,2019/11/9,42,有理整函数(多项式),有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,2019/11/
13、9,43,例 解方程,解,2019/11/9,44,(四)、小结与思考,通过此二节的学习, 熟悉复变函数的定义、极限、连续性的运算法则与性质.,注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.,2019/11/9,45,思考题,复数为什么不能比较大小？,答：,由此可见, 在复数中无法定义大小关系.,2019/11/9,46,答：,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数
14、中,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,2019/11/9,47,1.1 1.(2)(4)(6) 2.(4) 3.(1)(4) 1.2 2.(1)(3)(8) 3,1.1 和1.2作业,2019/11/9,48,(一）、函数的极限 对于复变函数,同样可以谈论它们的极限与连续性,在形式上与实函数情形完全类似.,1.函数极限的定义:,注意:,1.3导数(微分),2019/11/9,49,2. 极限计算的定理,定理一,说明：,2019/11/9,50,定理二,与实变函数的极限运算法则类似.,2019/11/9,51,例,证,.,0,),Re(,),(,时的极限不存在,当,证明函数
15、,=,z,z,z,z,f,根据定理一可知,2019/11/9,52,（二）、函数的连续性,1. 连续的定义:,2019/11/9,53,定理三,例如,2019/11/9,54,定理四,2019/11/9,55,例,证,.,),(,),(,:,0,0,也连续,在,那末,连续,在,如果,证明,z,z,f,z,z,f,2019/11/9,56,(三)导数(微分),1.导数的定义:（一个函数的导数定义为一个特殊的极限）,记为：,2019/11/9,57,例1,解,2019/11/9,58,例2,解,.,Im,),(,的可导性,讨论连续函数,z,z,f,=,2019/11/9,59,2019/11/9,
16、60,2.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,2019/11/9,61,3.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,2019/11/9,62,求导公式与法则:,2019/11/9,63,可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。,复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。,4.柯西黎曼方程（复变函数可导必要条件）,实变数f(x)： x沿实轴逼近零。,因此，复
