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1、毕毕 业业 论论 文文 题题 目目 浅析判别式在解题中的应用 学学 院院 数学科学学院 专专 业业 数学与应用数学 班班 级级 数学 1102 学学 生生 张义 学学 号号 20110921216 指导教师指导教师 蒋琴会 二一五年五月二十五日 济南大学毕业论文 - I - 摘 要 判别式法是一种技巧层次的解题方法，是把题设中的条件转化为一个方程，或者 能通过条件构造出合适的函数，最终运用判别式来求解的思想方法. 本文讨论了一 元二次方程的判别式在一元二次方程根的情况、含参数的一元二次方程、二次函数、 二次曲线及证明不等式等方面的应用；研究了三角函数判别法在代数、方程、函数 以及在解析几何中的
2、应用；介绍了一元三次方程判别式的一些应用. 利用判别式可 以将问题简单化，在方程、函数等有着广泛的应用. 通过应用判别式的思想把方程、 函数、不等式联系起来，其核心是能否构造出合适的方程或函数. 本文主要的研究 方法是通过举例子来阐述，从而归纳总结出判别式的解题思路和一般步骤. 关键词：判别式；方程；函数；应用 济南大学毕业论文 - II - ABSTRACT Discriminant is a skillful level of problem-solving approach, is to set the conditions in question transformed into an
3、 equation, or can be constructed condition suitable function, eventually using discriminant to solve the problem. We discuss a quadratic discriminant of a quadratic equation root in the case, the application contains the parameters of a quadratic equation, quadratic function, quadratic and prove ine
4、quality etc. I study the trigonometric discrimination law in algebra, equations, functions, and applications in analytic geometry, which introduced some applications of a cubic equation discriminant. These can simplify complex issues with discriminant equation, where the function was widely used in.
5、 By applying the idea of the discriminant equations, functions, inequalities linked to its core is the ability to construct a suitable equation or function. The main method we use is to illustrate some examples to the points, which summarize the discriminant problem-solving ideas and general procedu
6、res. Key words：Discriminant；Equation；Function；Application 济南大学毕业论文 - III - 目 录 摘要. I ABSTRACT.II 1 前言. 1 1.1 研究背景.1 1.2 研究的意义和目的.1 1.3 主要的研究方法.1 2 一元二次方程的判别式. 2 2.1 一元二次方程判别式定理2 2.2 一元二次方程判别式的应用.2 2.2.1 在一元二次方程中的应用.2 2.2.2 在二次函数中的应用 .3 2.2.3 在求极值中的应用.5 2.2.4 在二次曲线中的应用 .7 2.2.5 在二次不等式的应用.8 3 一元三次方程的判
7、别式.13 3.1 一元三次方程判别式定理13 3.2 一元三次方程判别式的应用.18 4 三角判别式.20 4.1 三角判别式定理20 4.2 三角判别式的应用.20 4.2.1 三角判别式在代数中的应用.20 4.2.2 三角判别式在方程中的应用.21 4.2.3 三角判别式在函数中的应用.21 4.2.4 三角判别式在解析几何中的应用.21 结论.23 参考文献.24 致谢.25 济南大学毕业论文 - 1 - 1 前言 1.1 研究背景 一元二次方程的求根公式是中国最早发现的,在古代,我国数学家赵爽对古代 著名的周髀算经注释时,写到“其信弦为广、袤合、令勾、股见者自乘为其实. ”董国玉，
8、卢静解释这句话的意思是“阐述了二次方程的求解过程”，可见参考文 献1. 注释时赵爽研究方程时用到的求根公式和现在基本类似. 在古埃及的草纸文 书中涉及了关于二次方程的简单解法，所以判别式很自然广泛的应用在解一元二次 方程中. 对于一元二次方程根的判别式在中学数学用途广泛，判 0 2 cbxax )0(a 别式可直接判断出方程根的情况，若我们知道了方程根的情况,就可以得到系数之间 的关系. 当涉及到系数与根之间的问题，或者可以转换成系数与根的问题，我们都 可以使用判别式的方法来思考，把这种利用判别式来解数学中的问题的方法叫做 “判别式法”. 1.2 研究的意义和目的 判别式是数学解题中的一种常用
9、方法，判别式一般用于判断一个方程根的情况， 而且可以根据方程的根，从而确定方程中一些参数的取值范围和联系，可以通过方 程作为桥梁，来解决有关一些函数的问题或解决不等式一些问题，进而有效的把方 程、函数、不等式联系起来，从而把复杂困难的问题变的有规律可寻，提高了对问 题的理解题能力, 以及对于具体问题的分析能力. 1.3 主要的研究的方法 （1）例题讲解法：通过例题更好的揭示判别式的规律，根据题目中的条件或结 论的不同可以从多个方向，多层次的去思考问题，从而更好地理解判别式的规律. （2）构造函数法：杨辉, 马菊意在文2中研究了判别式时介绍了通过对命题 的条件、结论特点分析，能够合理构想、组合，
10、以条件重新组合来构造函数，在应 用函数解释条件与结论的联系，最终得到所需的结果. 济南大学毕业论文 - 2 - 2 一元二次方程判别式的应用 2.1 一元二次方程判别式定理 一元二次方程判别式定理: 在实数范围内,一元二次方程判别式记为 0 2 cbxax）（0a ，acb4 2 (1) 当时,方程有 2 个不相等实数根； 0 (2) 当时,方程有 2 个相等实数根； 0 (3) 当时,方程无实根,但有 2 个共轭复数根. 0 注：当时,荣延俊在文3中探究了与是一对共轭复数,若 0dicdic）（0d 其都是方程的根,则我们称它们为共轭复数根. 2.2 一元二次方程判别式的应用 2.2.1 在
11、一元二次方程中的应用 温双琴在研究一元二次方程根的情况时, 介绍了有关一元二次方程问题或转 化为一个一元二次方程的问题, 应用判别式可以解答所需的问题,可见参考文献4. (1) 判断根的情况. 例 1 不解方程，判断下列一元二次方程有无实数根. (1) . 01034 2 xx (2) . 0425 2 xx 解 (1) 因为 ，10, 34, 1cba ，）（081014344 22 acb 所以方程有个不相等的实数根. (2) 因为 ，4, 2, 5cba ，07845424 22 acb 济南大学毕业论文 - 3 - 所以方程无实根, 但有 2 个共轭复数根. (2) 确定方程中的参数的
12、关系. 例 2 已知一元二次方程有两个相等的实数根, 求关系. 04 2 bxax、ab 解 因为 04 2 bxax 是一个一元二次方程, 所以 . 0 a 又因为此方程有实数根, 所以 ，0 即为 , 044 2 ab , 16 2 b a 综上所述且 0a . 16 2 b a (3) 判断参数的取值范围. 例 3 已知关于 的方程有实数根, 求的取值范围. x014 2 xaxa 分析: 对于一个含有参数的方程,先判断它是一个什么样的方程,在讨论二次项 系数是否为零,肖云瑞在文5中写到二次项系数是否为零应分情况讨论,然后在根据 判别式来求出参数的取值. 解 当一元二次方程有实数根,则
13、，0a ，0416a 由上式得 ；4a 当时方程显然有实数根, 综上所述的取值范围是 0aa . 4 a 2.2.2 在二次函数中的应用 形如()是一元二次方程的形式,而形式为0 2 cbxax0acbxaxy 2 (为常数,)是二次函数的一般式.它们在形式上几乎相同,差别只有一，a，bc0a 元二次方程的表达式等于零,而二次函数的表达式等于,这种形式上的类似使得它 y 们之间的关系非常密切.主要是因为当二次函数中的变量取零时,二次函数就变成 y 济南大学毕业论文 - 4 - 一元二次方程.可以看出,许多一元二次方程中的性质应用在二次函数中. (1) 求二次函数解析式. 例 4 已知二次函数在时有最小值,它的图像与 轴有两交点, 两交)(xf 2 1 x 2x 点的距离为,求二次函数的解析式.2)(xf 解 设所求二次函数解析式为)(xf , )0(2) 2 1 ()( 2 axaxf 化简得 ，)0( 4 8 )( 2 a a axaxxf 不妨设所求函数与 轴的两个交点的横坐标为x , 1 x, 2 x 则是所求函数等于零的两个不相等的实数根， ， 1 x 2 x 由韦达定理得 ,1 21
