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1、伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。直线与平面的夹角 学案 编制单位 临朐第二中学 编制人 谢文利 审核人 （董洪安） 编号学习目标 理解掌握直线和平面所成的角定义初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤重点难点 （1）直线和平面所成的角的定义的生成. （2）求直线和平面所成的角的方法步骤. （3）初步掌握公式及公式的应用.知识链接(新宋体4号)1、直线和平面的位置关系有哪几种？ （1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：CBAO学习过程一、课内探究问题1：平面的斜线和平面内的直线所成的最小角问
2、题2：三个角之间的关系.二、典例剖析（一）定义法求斜线与平面所成的角例1：在单位正方体中，试求直线与平面所成的角.DCBCAD 跟踪训练：在单位正方体中，求直线与截面所成的角. .向量法求斜线与平面所成的角例2、已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值。 窗体底端跟踪训练：在正四面体ABCD中，AD=1，求AD与平面BCD所成的角； 公式法求斜线与平面所成的角例3：如图，已知AB为平面的一条斜线，B为斜足，O为垂足，BC为内的一条直线，求斜线AB和平面所成的角. COBA 跟踪训练：已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的菱
3、形，O为菱形ABCD的中心，BAD=BAA1=DAA1=600，求证：A1O平面ABCD。三、小结反思（新宋体小4号)四、当堂检测（新宋体小4号)1、正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等，AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）A、B、C、D、2正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为（）ABCD3正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1所成的角为30，则BD1和底面ABCD所成的角为（）A30B60C45D904正方体，ABCDA1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为（）A3
4、0B45C60D9005在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=2AB若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）ABCD6设P是边长为1的正ABC所在平面外一点，且，那么PC与平面ABC所成的角为（）A30B45C60D90五、课后巩固1已知直线a与平面所成的角为30，P为空间一定点，过P作与a、所成的角都是45的直线l，则这样的直线l可作（）条A2B3C4D无数 2已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（）ABCD 3已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高AA1=3
5、，则BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值等于（）ABCD 4如图，直线l是平面的斜线，AB，B为垂足，如果=45，AOC=60，则BOC=（）A45B30C60D15 5正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）ABCD6已知AOB=90，C为空间中一点，且AOC=BOC=60，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为 7在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 8如图，在直三棱柱中，ACB=90，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正
6、切值为9在四棱锥PABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，若PA=AB，则PC与面PAB所成角的余弦值为10正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，那么EF与平面BCD所成的角的大小为六、学习后记直线和平面所成的角学案答案例1：在单位正方体中，试求直线与平面所成的角.DCBCAD 解：，由正方体的性质可知，所以在平面ABCD内的射影为BD.由直线和平面所成角的定义，则为与平面所成的角在中，所以直线与平面所成的角为.跟踪训练：在单位正方体中，求直线与截面所成的角.解：过作交于点O，易知：，OABDC 所以为直线在平面内的射影. 由直线和平面所成角的定义，所以 即为直线与截面所成
7、的角. 在中，可知.例2.如图取AB中点E，连结CE，由正三棱柱可知：CE平面AA1B1B.连结EB1，CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角设棱长AA1=1，设，依题意，可得：|e1|=|e2|=|e3|, =60， =90 又 ， ， 直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是.跟踪训练在正四面体ABCD中，AD=1，(1)求AD与平面BCD所成的角； 解：(1)如图，因为四面体ABCD是正四面体，所以A在底面BCD的射影是底面三角形BCD的中心O，延长DO交BC于E，E是BC的中点，ADE就为AD与平面BCD所成的角。 ， 又， 。 。例三解：由斜线和平面所成的角的定义可知，为A
8、B和平面所成的角.因为，所以.1B2解：取AD中点F，交AC于点M，连接MC，则EFAC，EFA1A，得EF面ACC1A1EC1M就是直线C1E与平面ACC1A1所成角，设正方体棱长为4，则EM=2sin45=，MC=ACAM=，MC1=，tanEC1M=，故选C3解：BD1与侧面BC1所成的角为D1BC1，则D1BC1=30又BD=8，D1C1=4，BD=4又D1B与底面ABCD所成的角为D1BD，从而cosD1BD=，D1BD=45故选C4解：取BC的中点O，连接BO，OA1由正方体的性质可得BOAC，BOAA1且AA1AC=ABO平面AA1C1CBA1O即为直线与平面所成的角设正方体的棱
9、长为a，则在RtBOA1中=BA1O=30故选A5解：取BB1中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接A1M，A1F 易得EFA1M，EF=A1MA1F是EF在面A1ABB1上的投影MA1N为所求的角令AB=1，在MA1N中，A1N=，所以A1M=，则cosMA1N=故选A6解：过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接CO并延长交AB于E，因为P为边长为1的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=，所以O是三角形ABC 的中心且PCO就是PC与平面ABC所成的角，CO=CE=1=且PC=，cosPCO=；PCO=30即PC与平面ABC所成的角为30故选：A五、课后巩固1解：由题意，过P
10、作与a、所成的角都是45的射线形成两个圆锥直线a与平面所成的角为30两个圆锥的侧面相交，且交线：有2条 故选A2解：如图所示，设VA=VB=VC=2a，AB=BC=AC=a，因为是正三棱锥，所以顶点P的射影0为底面中心，也是重心，所以VB0即为侧棱与底面所成的角B0=，cosVBO=故选A3解：连接A1C1交B1D1于点O1，连接BO1，易证C1O1平面BB1D1D所以C1BO1为BC1与对角面BB1D1D所成的角，于是sinC1BO1=故选C4解：作ACOC，垂直为CAB，根据三垂线定理可得，OCBC在RtOAB，cosAOB=，RtAOC中，RtOCB中，cosAOBcosBOC=cosA
11、OCBOC=45故选A5解：连接EF，由BF=CF，BD=CD可得FEBC，DEBCFED是线面所成角设棱长a，CD=a，ED=BF=CF=a三角形BCF是等腰三角形，则EF=a由余弦定理，cosFED=则SINFED=故选B6解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在AOB的平分线上作DEOA于E，连接CE则由三垂线定理CEOE，设DE=1，又COE=60，CEOEOC=2，所以，因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值7解：取AC的中点E，连接BE，C1E，正三棱柱ABCA1B1C1中，BE面ACC1A1，BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，BE=，=30故答案为308解：以C1点
12、坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，=（，），=（0，1，0）为平面AA1C1C的一个法向量设AM与平面AA1C1C所成角为，则sin=|=则tan=故答案为：9解：PA平面ABCD，BC平面ABCDPABC，而BCAB，ABPA=ABC面PABBPC为PC与面PAB所成角设PA=PB=BC=1，则PB=，PC=cosBPC=故答案为10解：连接DE，AEABCD为正四面体，BCDE，BCAE，AE=DEBC平面AED，平面AED平面BCD过F向平面BCD作垂线，则垂足必落在DE上，FED为所求EF与平面BCD所成的角，AE=DE，F为AD中点，EFAD，在直角三角形EFD中，设AD=2a，则FD=a，DE=a，sinEFD=EF与平面BCD所成的角的大小为故答案为注意：1.页眉
