《七年级数学思维探究（12）不定方程(组)（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学思维探究（12）不定方程(组)（含答案）（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华罗庚（ - ） ，江苏金坛人，初中毕业后刻苦自学，主要从事解析数论、矩阵几何学等领域19085的研究并取得突出成绩，在解决高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题改进、近世代数论方法应用研究等方面获出色成果 年当选美国科学院外籍院士，同年被聘为第三世界科学院院士198412不定方程（组）解读课标如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是 （ ， ，
2、为整数，且 ） ，axbycabc0ab与之相关的性质有：1无整数解的判定方法若 ，而 ，则方程 没有整数解,abd|caxbyc2全部整数解的表示若方程 有一组解（特解） ，则方程 全部整数解（通解）可表示为：xy0axbyc（ 为整数） 0btya问题解决例 1 某班级为筹备运动会，准备用 元购买两种运动服，其中甲种运动服 元/套，乙种运动服365 20元/套，在钱用尽的条件下，有 _种购买方案35试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为 套、 套，则 ，即 将问题转xy20356xy473xy化为求不定方程的正整数解的个数例 2 如图，在高速公路上从 千米处开始，每隔 千米设一个速度限制标志
3、，而且从 千米处开始，3410每隔 千米设一个测速照相标志，则刚好在 千米处同时设置这两种标志问下一个同时设置这两种9 19标志的地点的千米数是（ ） 23191511073A 千米 B 千米 C 千米 D 千米23590试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为 、 （ ， 为自然数)，问题转化为4x1yx求不定方程 的正整数解4xy例 3 （1）求方程 的全部整数解；254（2）求方程 的正整数解37试一试 对于（ ） ，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解例 4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 人，就会余下 人；如果开走21一辆空车，那么
4、所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于 人）2试一试 设原先租客车 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 人，则 ，x k123xkk解此不定方程即可例 5 购买铅笔 支，作业本 个，圆珠笔 支共需 元；购买铅笔 支，作业本 个，圆珠笔 支共需7313041元问购买铅笔 支，作业本 个，圆珠笔 支共需多少元？4152分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为 、 、 ，则 ，需求 的abc7314abc52abc值解法 1 原方程组变形为 ，解得37410,bc2,15215325abcaa解法 2 把 直接用 、 的式子表示7bc104bc
5、35c解法 3 ，04a需求出 ，原方程组变形为abc6294acbb ，得 ，232115415百钱买百鸡例 6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为 ， ， ，则有 通过消元，将问题xyz1053,xyz转化为求二元一次不定方程的非负整数解 ，得 ，314820xy即 70xy到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解由得 ，令 ，则 ，7544xt4xt，25827yxtt，101035z t这样，得到方程组的通解为 （ 为非负整数） 7xytz解得
6、402573,tt04325tt03t令 ， ， ， ，得下列四组解： 1， ， ，,0,7xyz4,187,182,48数学冲浪1若方程 有一组解为 则方程的通解可表示为_3682xy602,xy2若方程 有一组整数解为 则由此得方程 的通解为_11,236xy3用一元钱买面值 分、 分、 角的 种邮票共 张，每种邮票至少买一张，共有_种不同的438买法4某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由 朵红花、 朵黄花和 朵紫152425花搭配而成，乙种盆景由 朵红花和 朵黄花搭配而成，丙种盆景由 朵红花、 朵黄花和 朵紫012018花搭配而成这些盆景一共用了 朵红花， 朵紫花，则
7、黄花一共用了_朵97505方程 的正整数解的个数是（ ） 598xyA B C D66为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为 元、 元、45元，购买这些钢笔需要花 元；经过协商，每种钢笔单价下降 元，结果只花了 元，那么甲种钢018笔可能购买（ ） A 支 B 支 C 支 D 支19757三元方程 的非负整数解的个数有（ ） 1xyzA 个 B 个 C 个 D 个202020120198某次足球比赛的计分规则是：胜一场得 分，平一场得 分，负一场得 分，某球队参赛 场，积3 15分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（ ） 3A 种 B 种 C
8、 种 D 种151539一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 人准备同时祖用这三种客房共 间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？710某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 辆由于抽调不出足够的熟练工240来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装生产开始后，调研部门发现： 名熟练工和 名新工人每月可安装 辆电动汽车； 名熟练182工和 名新工人每月可安装 辆电动汽车314（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完
9、成一年的安装0n任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 元的工资，给每名新工人每20月发 元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支10出的工资总额 （元）尽可能的少？W11一个盒子里装有不多于 粒棋子，如果每次 粒、 粒、 粒或 粒地取出，最终盒内都剩一202346粒棋子；如果每次 粒地取出，那么正好取完间盒子里共有多少粒棋子？1思维方式天地12正整数 、 满足 ，则 的最大值为_mn896nm13顺思逆想一年共有 个月，闰年的二月是 天，又有 个小月， 个大月，所以闰年共有2247（天）913
10、04736反过来思考：如果非负整数 、 、 满足等式： ，那么 _，这abc293016abcabc样的数组（ 、 、 ）共有_组，它们分别是_abc14甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答以后在抢答过程中若甲答对 题，就可提 个问题，乙答对 题就可提 个问题，丙答对 题就可提 个问题，供另154两人抢答，抢答结束后，总共有 个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是16_15有甲、乙、丙 种商品，某人若购甲 件、乙 件、丙 件共需 元；若购买甲 件、乙 件、33712410丙 件共需 元，则此人购买甲、乙、丙各 件共需_元116如果一个两位数 与三位
11、数 的积为 ，那么 _5xyz2940xyz17司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数， 小时后，看到里程碑上的数1恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过 小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次1见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？18陈老师给 名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支 元的钢笔，每把 元的圆规，每册42 24元的词典，共用了 元问陈老师买了多少支钢笔？多少本词典？1616应用探究乐园19将一个三位数 的中间数码去掉，成为一个两位数 ，且满足 （如abc ac9abc） 试求出所有这样的三位数594520物不知其数我国南北
12、朝时期有一部著名的算术著作孙子算经 ，其中有这样一个“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”12不定方程（组）问题解决例 1 ，,13,xy6,7例 2 C ， ， 为所求的解793244y135xy例 3 （1） ， 只能取偶数，得一组解 ，故原方程的通解为 （ 为整数）5x 72752xty（2） ，经观察 ， 为方程的一组解，原方程的通解为 （ 为整数） 75y01x04y 1345t解得 故当 取 ， ， ，时，可知原方程有无穷多组正整数0,x134,t3tt12解例 4 由 ，得 ， ，得 ，或 ，得 或21xk213xkx1x12
13、3xx当 时，师生总人数为 （人） ，开走一辆车，每辆载客 （人） ，与4545题意不符，故 舍去，从而 ，师生共有 （人） x21529数学冲浪1 （ 为整数）60832xty2 （ 为整数）t34 设甲盆景 盆，乙盆景 盆，丙盆景 盆，根据题意得：80xyz得15290375,xyz28015.z所以共用了黄花 （朵） 4621850628430yxy5B6D7C 当 时， ， 分别取 ， ， ， 时， 取 ， ， ，有0x19z09z1980个整数解；当 时， ，有 个整数解，当 时， ，有 个整2 8y192x7y19数解；当 时， ，只有 组整数解，故非负整数解共有（个） 19832
14、8D 设该队胜 场，平 场，负 场， ， ， 都为整数，且 ， ， 则xzxyz05z，解得 ，则 ， ， 53xyz1y0369设租二人间 间，三人间 间，四人间 间，则 得 ， ， ， 均为xz23427,xyz6yzxyz正整数， 有 ， ， ； ， ， ，故有两种租房方案24y1zxyz10 （1） ；4（2）工厂有 种新工人的招聘方案；（3）满足题意要求的招聘方案为：招聘 名新工人和抽调 名熟练工，此时工厂每月支出的工资总额43最少，为 元0811设盒子里共有 粒棋子，则 被 ， ， ， 的最小公倍数 除时，余数为 ，即 （xx234612121xa为自然数） ，又 （ 为自然数） ，得 ， ， ，因a1b1aba，故 ，得 ， ，所以， ，即盒子里共02x020a7201201x有 粒棋子112 ， 时， 最大值为 75968nm9nm7513 ； ； ， ， ，240,1,472,83,0914 或 设甲、乙、丙分别答对 、 、 个问题，那么1,3xyz，即 ，解
