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1、8.1 函数的定义与性质,定义8.1 设F为二元关系，若 xdomF都存在唯一的 yranF使xFy成立，则称F为函数。,函数也可以称作映射。,函数是一种特殊的二元关系,对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)， 并称y为F在x的值。,单值性,例8.1 设 F1=, F2=, 判断它们是否为函数。,解：F1是函数，F2不是函数。 因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。,函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等,定义8.2 设F，G为函数，则,由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一定满足下面两个条件：,1domF=domG,2 xdomF=dom
2、G都有F(x)=G(x),F=G F GG F,例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的， 因为 domF=x|xRx-1 而domG=R。 domFdomG。,定义8.3 设A，B为集合， 如果f为函数，且domf=A，ranf B， 则称f为从A到B的函数，记作f：AB。,例如 f：NN，f(x)=2x是从N到N的函数， g：NN，g(x)=2也是从N到N的函数。,定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”。符号化表示为 BA=f | f：AB,例8.2 设A=1,2,3，B=a,b，求BA。,解：BA=f0,f1,f7，其中 f0=,
3、f1=, f2=, f3=,f4=, f5=, f6=, f7=,由排列组合的知识不难证明： 若|A|=m，|B|=n，且m,n0,则|BA|=nm。,当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：,|A|=3，|B|=2，而|BA|=23=8,1. A= 且 B= ，则BA= =。,3. A 且 B= ，则BA= A= 。,2. A= 且 B ，则BA=B =。,定义8.5 设函数f：AB，A1 A， B1 B。 (1) 令f(A1)=f(x)|xA1，称f(A1)为A1在f下的像。 特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。 (2) 令f-1(B1)=x|xAf(x)B1，称f
4、-1(B1)为B1在f 下的完全原像。,注意区别: 函数的值和像两个不同的概念。 函数值f(x)B，而像f(A1) B,A1 与 f -1(f(A1)的关系 ？,f(A1) B,一般说来f-1(f(A1)A1，但是A1 f-1(f(A1),f-1(B1) A,令A=0,1，B=2， 求f(A)和f-1(B),f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2 f-1(B)= f-1(2)=1,4,例如函数f：1,2,30,1，满足 f(1)=f(2)=0,f(3)=1 令A1=1，那么有 f-1(f(A1)=f-1(f(1)=f-1(0)=1,2 这时A1 f-1(f(A1)。,函数的性质,定
5、义8.6 设f：AB， (1)若 ranf=B，则称f：AB是满射的。 (2)若 yranf 都存在唯一的xA使得f(x)=y， 则称f：AB是单射的。 (3)若f：AB既是满射又是单射的， 则称f：AB是双射的(或一一映像)。,例8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的， 为什么? (1) f：RR，f(x)= -x2+2x-1 (2) f：Z+R，f(x)=lnx，Z+为正整数集 (3) f：RZ，f(x)= x ,是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。,f：Z+R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。 但不是满射的，因为r
6、anf=ln1，ln2， R。,是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1,(4) f：RR，f(x)=2x+1,满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R,(5) f：R+R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。,当x0时，f(x)+； 而当x+时，f(x)+。 在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。 所以该函数既不是单射的也不是满射的。,例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函数f：AB。如果是，说明 f：AB是否为单射，满射，双射的，并根据要求进行计算。,A=1,2,3,4,5, B=6,7,8,9,10, f=,能构成函数f
7、：AB，但f：AB既不是单射也不是满射的。,不能构成函数f：AB,因为f且f， 与函数定义矛盾。,(2) A,B同（1），f=,(3) A=1,2,3,4,5, B=6,7,8,9,10, f =,不能构成函数f：AB，因为domf=1,2,3,4A。,(4) A=B=R, f(x)=x3 ( xR),能构成函数f：AB，且是双射的。,能构成函数 f：AB，但不是单射的，也不是满射的，因为该函数在x=1处取得极大值f(1)=0.5。函数不是单调的，且ranf R+.,(6) A=B=RR, f()= L=y|yRy=x+1, 计算f(L).,能构成函数 f：AB，且f：AB是双射的. f(L)
8、=|xR=R -1,(7) A=NN, B=N, f()=|x2-y2| 计算f(N 0), f-1(0).,能构成函数 f：AB，但f：AB既不是单射也不是满射的。因为f()=f()=0,且2 ranf. f(N 0)=n2|nN, f-1(0)=|nN.,设|A|=m，|B|=n，分别说明存在单射、满射、双射 函数f： AB的条件。,单射： m n,满射： m n,双射： m n,例8.6 对于给定的集合A和B构造双射函数f： AB。 (1) A=P(1,2,3)，B=0,11,2,3,解(1)A= ,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3。 B=f0,f1,f7，其中 f0=,，
9、f1=, f2=,，f3=, f4=,，f5=, f6=,，f7=,。,令f：AB，使得f()=f0，f(1)=f1，f(2)=f2，f(3)=f3，f(1,2)=f4，f(1,3)=f5，f(2,3)=f6，f(1,2,3)=f7,(2) A=0,1，B=1/4,1/2,令f：0,11/4,1/2，f(x)=(x+1)/4.,(3) A=Z，B=N,将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0-11 -2 2-33 N：0 1 2 34 56 则这种对应所表示的函数是： f：ZN,(4) A=/2,3/2，B=-1,1,f(x)=sinx,8.2 函数的复合与反函数,一函数的复合,函数
10、是一种特殊的二元关系，函数的复合就是关系 的右复合。一切和关系右复合有关的定理都是用于 函数的复合。,下面着重考虑函数在复合中特有的性质。,定理8.1 设F，G是函数，则F G也是函数，且满足 （1）dom(F G)=x|xdomFF(x)domG （2） xdom(FG)有FG(x)=G(F(x),证: 因为F，G是关系，所以F G也是关系。,若对某个xdom(F G)，有xF Gy1和 xF Gy2，则,F GF G, t1(FG) t2(FG), t1 t2(t1=t2GG (F为函数), y1=y2 （G为函数）,所以F G为函数。,任取x，,xdom(F G),t y(FG),t(x
11、domFt=F(x)tdomG),xx|xdomFF(x)domG,任取x，,xdomFF(x)domG,FG,F G, xdom(FG)F G(x)G(F(x),所以（1）和（2）得证。,推论1 设F，G，H为函数，则（F G）H和 F (G H)都是函数，且,(F G) H=F (G H),推论2 设f：AB，g：BC，则f g：AC，且 xA都有 f g(x)=g(f(x)。,证: 由定理8.1可知f g是函数，且,dom(f g)=x|xdomff(x)domg,=x|xAf(x)B=A,ran(fg) rang C,因此由f g：AC，且xA有f g(x)=g(f(x)。,定理8.2
12、 设f：AB，g：BC. （1）如果设f：AB，g：BC 都是满射的，则 f g：AC 也是满射的。 （2）如果设f：AB，g：BC 都是单射的，则 f g：AC 也是单射的。 （3）如果设f：AB，g：BC 都是双射的，则 f g：AC 也是双射的。,证 : （1）任取cC，因为g：BC 都是满射的, $bB 使得g(b)=c.,对于这个b,由于f：AB也是满射的，所以$aA使得f(a)=b.,由定理8.1有 f g(a)=g(f(a)=g(b)=c,从而证明了f g：AC 是满射的。,(2) 假设存在x1,x2A使得,f g(x1)=f g(x2) 由定理8.1,有 g(f(x1)=g(f
13、(x2),因为g：BC 是单射的，故 f(x1)=f(x2),又由于f：AB是单射的，所以 x1=x2,从而证明了f g：AC 是单射的。,（3）由（1）和（2）得证。,说明函数的复合运算能够保持函数的单射、满射、 双射的性质。,该定理的逆命题成立吗？,单射,不是单射,f g=,单射,不是满射,满射,f g=,满射,定理8.3 设f：AB,则有 f =f IB=IA f,证：由定理8.1的推论2可知 f IB：AB和 IAf：AB,任取, ffyB,fIB,f IB,f IB$t(fIB),ft=y,f,所以有f=f IB ，同理可证IAf= f,二反函数,任给函数F，它的逆F-1不一定是函数
14、，只是一个二元关系。,例如 F=,则有 F-1=,显然，F-1不是函数。,因为对于y1domF-1有x1和x2两个值与之对应， 破坏了函数的单值性。,任给单射函数f：AB，则f-1是函数，且是从ranf到A 的双射函数，但不一定是从B到A的双射函数。,因为对于某些yBranf，f没有值与之对应。,domf -1=ranfB,对于什么样的函数f：AB，它的逆f-1是从B到A的函数f-1：BA呢？,定理8.4 设f：AB是双射的，则f-1：BA也是双射的。,证: 先证明f-1是从B到A的函数f-1：BA.,因为f是函数，所以f-1是关系，,且由定理7.1得 domf-1=ranf=B ranf-1=domf=A,对于任意的xB=domf-1，假设有y1，y2A使得,f-1f-1成立，
