通信原理课件第3章_随机过程.

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1、通 信 原 理 电 子 教 案 第 3 章 随机过程,西 北 工 业 大 学 2009.3,2019/11/9,2,第 3 章 随机过程 本章是本书的重要数学基础。 研究内容： 3.0 引言 3.1 随机过程的一般描述 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声,2019/11/9,3,3.0 引言 通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。 随机信号：通信系统中的信号通常总带某种随机性。不可预测，不能用确定函数表示的信号。 随机

2、噪声：通信系统必然遇到噪声。不可预测（热噪声）。简称噪声。 随机过程：从统计学的观点看，随机信号和随机噪声均可表示为随机过程。 定义：随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。 统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。,2019/11/9,4,3.1 随机过程的一般描述 3.1.0 基本概念 考察： 假设有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。（n-足够大的正整数） 得到一系列噪声波形1(t)、2(t)、3(t)、.、n(t) 。 理想时，波形应一致，但实际不然。,找不到两个完全相同的波形！,2019/11/9,5,讨论： 每一条曲

3、线i(t)都是一个随机起伏的时间函数随机函数。 全部随机函数的集合随机过程： (t) =1(t), 2(t), , n(t) 每一条曲线i(t)都是随机过程的一个实现/样本为确定的时间函数。,在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值(t1) ，发现他们的值是不同的 是一个随机量（随机变量）。,角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,2019/11/9,6,讨论： 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的为随机量。 换句话说，随机过程在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量

4、。 因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。,角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,2019/11/9,7,概括： 随机过程(t)的含义属性有两点： （1）(t)是t 的函数； （2）(t)在任一时刻 t1上的取值(t1)不是确定的，是一个随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布的。 概率论：随机变量分析分布函数和概率密度 研究内容随机过程统计特征： 3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征,2019/11/9,8,3.1.1 随机过程的分布函数 设 (t)表示一个随机过程，它在任意

5、时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 （1）随机过程 (t)的一维描述 一维分布函数,一维概率密度函数,若上式中的偏导存在的话。,2019/11/9,9,（2）随机过程 (t)的二维描述 若随机过程(t)在时刻 t1 的取值是随机变量(t1)，时刻t2的取值是随机变量(t2)，则(t2)与(t2)构成一个二元随机变量(t1),(t2)。 二维分布函数,二维概率密度函数,若上式中的偏导存在的话。,2019/11/9,10,（3）随机过程 (t)的多维描述 n维分布函数, n维概率密度函数,2019/11/9,11,目的/意义： 可以把随机过程(t)

6、当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。 显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。 统计独立: 对于任何n个随机变量(t1)，(t2)，.，(tn)，如果下式成立 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）.fn（xn，tn） 则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。,2019/11/9,12,3.1.2 随机过程的数字特征 引言 问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 措施：用随机过程的数

7、字特征来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。 方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时间平均”两种。 统计平均: 对随机过程(t)某一特定时刻不同实现的可能取值(ti)随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。 时间平均:对随机过程(t)的某一特定实现i(t) ，用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。,2019/11/9,13,随机过程在任意给定时刻t的均值。,1. 均值（数学期望） 随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值,式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函数。 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x

8、1改为x，这样,2019/11/9,14,a (t ), (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：,2019/11/9,15,2. 方差,均方值,均值平方,方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为,所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 相对于均值a ( t )的偏离程度。,2019/11/9,16,3.协方差与相关函数 (t)不同时刻取值之间的相互关系 假定：(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。 （1）相关函数同一随机过程的相关程度,f2 (x1, x2; t1,

9、 t2) (t)的二维概率密度函数。 可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 R( t,) （2）协方差函数,2019/11/9,17,相关函数和协方差函数之间的关系：,特别：若a(t1) 或 a(t2)为0，则 B(t1, t2) = R(t1, t2),4. 互相关函数两个随机过程的相关程度,(t)和(t)是不相关的-正交的随机过程。统计独立的两个随机过程是不相关的。,式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 相应地：R(t1, t2)称为自相关函数。 特别：,2019/11/9,18,3.2 平稳随机过程 1.定义 若一个随机过程(t)，它的任意有限维分布或概率密度

10、函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数，有,则称(t)是严格意义下的平稳随机过程或狭义平稳随机过程。,2019/11/9,19,2.性质该定义表明： 平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：,3. 数字特征,而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关：,可见：（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。,2019/11/9,20,严平稳随机过程的数字特征： （1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。 4.广义平稳随机过程 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。 意义： 具有各态

11、历经性平稳随机过程十分有趣，非常有用。 通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具有各态历经性的随机过程。,2019/11/9,21,3.2.2 各态历经性 问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。 问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? 回答是肯定的： 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 条件？,2019/11/

12、9,22,各态历经性条件 设： i(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：,如果平稳过程使下式成立,则称该平稳过程具有各态历经性。,2019/11/9,23,“各态历经”的含义： 随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。 各态历经随机过程的特点好处 在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条

13、件。,2019/11/9,24,例3-1 设一个随机相位的正弦波为,其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。,【解】（1）先求(t)的统计平均值。 均值：,与t 无关,2019/11/9,25,仅只与时间间隔 有关。 所以：(t)是广义平稳过程。,自相关函数：,令t2 t1 = ，得到,2019/11/9,26,结论：随机相位余弦波是各态历经的。,（2）求(t)的时间平均值,综上，有,2019/11/9,27,3.2.3 平稳过程的自相关函数特别重要，因为： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述； 相关函数揭示了随机过程

14、的频谱特性。 （1）平稳过程自相关函数的定义：,（2）平稳过程自相关函数的性质, (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界，R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率 (t)的交流功率,特别：均值为0时，有 R(0) = 2,2019/11/9,28,（3） | R()|R(0) - R() 的上界。 证：由于 E(t)(t+)2 0 从而 E(t)(t+)2 = E2(t)+2(t+)2(t)(t+) = E2(t)+ E2(t+)2E(t)(t+); -平稳 = 2R(0)2R()0 所以，得 R(0)R() 即 |R()|R(0),2019/11/9,29,（4） R()=E2(t)=

15、a2 -(t)的直流功率。 证：,注：这里利用了当时(t)与(t+)变得没有依赖关系，即统计独立，且认为(t)不含有周期分量。,（5） R(0)- R()= 2 -方差，(t)的交流功率。 证： 由 D(t)= E(t)-a(t)2 =E2(t) -2a(t)+ a2 = E2(t) - a2 =R(0)- a2 得 2= R(0)- R(),2019/11/9,30,3.2.4 平稳随机过程的功率谱密度P() 相关函数R()的又一重要性质。 设：(t)平稳，R()绝对可积,则,在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。 意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。,简记为：,维纳-辛钦关系,2019/11/9,31,讨论： （1）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：,从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。 （2）各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，任一样本函数的谱特性都能很好地表