悬崖跳水水池深度问题摘 要本文探讨悬崖跳水水池深度设定问题，以实现水池深度设定既保证运动员人身安全且使成本消耗最低为目标对此问题，将建立物理模型，运用物理学、流体力学知识，结合微分方程进行求解对于问题一，本文将建立物理模型，将跳水运动员形体模拟为椭圆锥，用物理动力学解题思路，对悬崖跳水过程细化为三阶段：跳台至水面过程、空气至水中过程与水面至水池底部，并逐个对其建立运动状态方程，结合微分方程求得结果见下表（详见第11页）：性别最大深度最小深度1281.7875男9.065.542231.6560女8.324.323231.7875男8.584.894181.6560女7.453.90 对于问题二，通过对运动员悬崖跳水过程进行分析，我们得到： 由于人体密度保持不变，所以当两人体重不同时，存在三种情况：人的底面积相同，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同那么，本文将人的体重不同定义为底面积相同，密度相同，高度不同 结合运动员悬崖跳水的三个方程进行分析，得出结论：体重越大的人跳水时需要更深的水（详见第11页）。
关键词：物理动力学；流体力学；微分方程；运动状态方程一、问题重述 近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米现要求我们解决以下两个问题： 问题一：跳台下面的水池要多深才能安全，请大家给以计算；问题二：分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水二、问题分析悬崖跳水运动只要涉及物理中的运动学学和流体力学的问题本文需解决水池深度设定问题及得出运动员不同质量对水池深度设定的影响，水池深度设定需满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成本消耗的要求即跳水运动员落入水中速度降为最小时，所处的深度即为最佳水池深度针对问题一：我们将悬崖跳水运动的物理过程细致化为以下三个过程：1． 跳台至刚刚接触水面过程：运动员从跳台跳下，在空中完成动作后落入水中在这个过程中受到竖直向下的重力与竖直向上的空气阻力影响，重力为恒定的，空气阻力逐渐增大，运动员做向下加速度减小、速度增大的运动，到达水面时速度达到最大；2． 恰好完全进入水中过程：运动员以最大速度，身体笔直、双手紧贴，脚先着水的方式垂直入水。
这个过程中进入水中部分身体受到水的竖直向上的浮力和阻力，整个身体受到竖直向下的重力，运动员做向下加速度减小的先加速后减速运动由于入水身体高度为变化的，所以在计算时需考虑动态求浮力与阻力；3． 完全入水后的过程：运动员身体全部进入水中，做减速运动直至速度减为零达到水池底部运动员受到竖直向上的水的浮力、阻力和竖直向下的重力，重力与浮力恒定，水的阻力逐渐减小，导致做向上加速度减小的减速运动为了保证运动员的人身安全，水池建立必须有足够的深度，避免运动员因撞击池底而受伤；另一方面，尽量节约水池建设的成本可以避免无意义的浪费所以最佳水池深度为运动员在水下速度最小时的深度根据问题一的分析，改变质量的值，同时考虑锲形高度与半径的变化得出结果针对问题二：分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水，我们可以用穷举法，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小三、模型假设1. 假设跳水人跳水状态形似锲形下落，质量分布均匀，其中跳水人的高度即锲形高度，人的脚部为锲形底部，人体的肩宽即锲形直径（如图1所示）；图1 人体模型2. 假设跳水人以身体笔直，双手紧贴，脚先着水的方式垂直入水，速度方向垂直向下；3. 假设忽略跳水运动员的蹬板过程；4. 假设风速水速为零，不影响运动员下落；5. 假设人水短暂碰撞过程没有能量损失；6. 假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准；7. 假设人落入水中速度降为最小即速度为零，此时的深度为安全深度零界。
四、符号说明符号意义说明跳台距水面的高度跳水运动员的高度（椭圆锥的高度）运动员（椭圆锥）与水面距离人体质量流体的密度流体粘滞系数流体阻力落体瞬时速度雷诺系数阻力系数5、 模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 建模原则 首先，根据运动员在跳水过程中的运动状态，将其分为以下三个阶段： 第一阶段：跳台至水面过程，运动员受到竖直向下的恒定重力与竖直向上的空气阻力影响，空气阻力逐渐增大，运动员做向下加速度减小的加速运动，到达水面时速度达到最大 第二阶段：跳台至刚刚接触水面过程，运动员受到水的竖直向上的浮力和阻力，整个身体受到竖直向下的重力，运动员做向下加速度减小的先加速后减速运动 第三阶段：完全入水到到水中速度为零点的过程，运动员受到水的竖直向上的浮力和阻力，身体受到竖直向下的重力，阻力逐渐变小做向上加速度减小的减速运动，直至速度为零的点，则该点的深度为安全水深其次，根据三个阶段受力情况，我们知道：1． 整个下降过程运动员的重力（其中），保持不变；2． 水的浮力为水的密度、重力加速度与锲形入水体积之积；3． 空气和水的阻力为需根据雷诺系数确定：当雷诺系数大于10-3时，阻力系数为0.4，且与成正比；当雷诺系数小于10-3大于1时，阻力系数为，且与成正比；当雷诺系数小于1时，阻力系数为，且与成正比；4． 人体的体积可根据（其中）求得。
5.1.2 模型建立第一阶段：跳台至刚刚接触水面过程（如图2）：根据物理学知识建立运动状态方程如下： 即： 其中，表示人距跳台的高度，同时可得： 图2 运动员由跳台至水面过程 其中表示运动员（椭椎体）的底面积，且有则有： （1） 雷诺系数为： （2） 第二阶段：恰好完全进入水中过程（如图3）：建立运动状态方程：其中，水的浮力为： 图３ 运动员由空气至完全进入水中的过程水的阻力为：则有： （3） 第三阶段：完全入水的过程（如图4）： 图4 运动员由水面至水池底部过程 建立运动状态方程： 其中，水的浮力为：水的阻力为：则有： （4）5.1.3 模型求解 根据资料显示一般选择高崖跳水的人员都是20-25岁的青年男女，所以我们针对这一年龄段的男女跳水运动员对应跳台高度、身高、质量（见表1）进行相应的计算：表1 运动员跳水数据表性别1281.7875男2231.6560女3231.7875男4181.6560女水和空气所对应的密度与粘滞系数情况见表2：表2 水和空气所对应的密度与粘滞系数情况表类型密度粘滞系数空气1.293水1000 接下来我们将以上数据分别代入，逐步进行求解（以=1时的情况为例，其他同理可得）： 第一步：确定这里的值，将，的值代入（2）中得到为分界点，即： （5） 将（5）式代入（1）式中得： （6）运用MATLAB编程求解可得，运动员刚刚接触水面的速度（详见附录1）。
图5 高台至水面运动状态图 第二步：确定这里的值，将，的值代入（2）式中得到为分界点，即： （7） 将（7）式代入（3）式中得： （8） 运用MATLAB编程求解可得，运动员刚刚接触水面的速度（详见附录2）图6 恰好完全入水运动状态图第三步：将代入（4）式，然后运用MATLAB编程求得该运动员速度减为零时对应的水深为9.065.54图7 完全入水后的运动状态图但据相关资料表明，人体安全着陆的临界速度5时，因此为节约能源，我们可以将水池深度设为运动员速度减为时，对应的深度，即同理可求得其他条件下对应的深度，结果如下：表3 水池深度表性别最大深度最小深度1281.7875男9.065.542231.6560女8.324.323231.7875男8.584.894181.6560女7.453.905.1.4 模型检验 模型在求解过程中多次使用了四阶龙格库塔算法，该算法精确度很高，误差小于，因而可认为结果精确5.2 问题二5.2.1 建模原则 若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。
结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小5.2.2 模型建立 椭圆锥的质量计算公式：；建立运动状态方程： （9） （10） （11）5.2.3 模型求解由上述公式可得，水池深度大小改变与高度有关，所以本文将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变由（9）积分可得：可判定当高度增大时，末速度（入水初速度）增大；由（10）可知，当底面积不变，入水初速度减小，高度增大时，浮力与阻力增大，导致末速度（入水末速度）减小同理，由（11）可知，浮力与阻力增大，又入水末速度减小，所以水池深度越浅综上所述：即体重越大的人跳水时需要更深的水6、 模型评价与推广该模型建立充分运用了物理学、理论力学以及微分方程学分析了悬崖跳水运动的具体物理过程，求解出每个过程中物理量速度与高度的变化关系，以图形的形式展示出来，既形象准确又美观，解决了水池深度的合理设定当运动员体重改变时，可根据人体质量、锲形高度和锲形半径三者变量之间。