《工程力学b 第10章 弯曲变形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学b 第10章 弯曲变形（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章,弯曲变形,Deflections of Beams,平面弯曲时，梁轴线弯曲成一条光滑、连续的平面曲线；称为挠曲线。,挠曲线上的一点包含了梁的两种位移：,挠度和转角。,1. 挠度：,横截面形心沿y方向的线位移.记为:w 。,2. 转角：,横截面绕中性轴的转角或挠曲线的切线与x轴的夹角。记为： 。,称为挠曲线方程。,w f (x) (a),称为转角方程。,向上为正,逆时针转向为正,10.1 引 言,挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系为：,由高等数学，可得(x)与w(x)之间的关系为：,10.2 梁变形的基本方程,10.2.1 梁的挠曲线微分方程,这里的正负号应该如何选定呢？看下面的分析：,挠
2、曲线近似微分方程,注意：坐标系不能任选，必须如上图所示选取。,对（10.4）式两边乘以dx，不定积分得：,挠曲线方程,转角方程,两边再乘以dx，不定积分得：,10.2.2 边界条件与连续条件,由挠曲线近似微分方程（10.4）式：,注意：这里 C 和 D 是积分常数。当弯矩方程 M(x) 需要分段列出时，则积分常数的个数是梁分段数的二倍，此时它们可由梁的边界条件（支撑条件）和连续性条件确定。,边界条件,连续性条件,-弹簧变形,wA=0,wA=0,wA=,wA左=wA右,wA左=wA右,在分段点处,在中间铰处,在确定了常数 C 和 D 之后，可以很容易地得到梁的转角方程和挠曲线方程，也就能够计算梁
3、任意横截面的转角和挠度了。,若弹簧的刚度为K，则：,例10.1 用积分法求梁的挠度时，弯矩方程应分为几段列出？共有几个积分常数？写出确定这些积分常数的支承条件和连续条件。,2.7 应分为3段，,共有6个积分常数,2.8 应分为3段，,共有6个积分常数,支承条件：,连续条件：,（练习册P35，填2.7，2.8）,支承条件：,连续条件：,例10.2 用积分法求梁的挠度时，弯矩方程应分为几段列出？共有几个积分常数？写出确定这些积分常数的支承条件和连续条件。,答：,支承条件：,连续条件：,共有6个积分常数,应分为3段，,（练习册P35，计3.1（a）,用二次积分法计算梁的变形的主要步骤:,1) 选择正
4、确的坐标系;,2) 分段列出弯矩方程 M(x) ;,4) 根据支承条件和连续性条件确定积分常数;,6) 计算梁的最大位移和最大转角。,3) 写出挠曲线近似微分方程并对其进行二次积分 ；,5) 求挠曲线方程和转角方程;,注意：,积分常数的个数是梁分段数的两倍。,10.2.3 计算梁变形的二次积分法,例10.3 梁的荷载及尺寸如图所示，若AB梁的抗弯刚度为EI。试用积分法求AB梁的转角方程和挠曲线方程。并求B截面的转角和挠度。,解: 1. 取直角 坐标系Oxy（不能任取），如图。,2. 写出梁的弯矩方程:,（练习册P36，计3.2）,3. 写出挠曲线微分方程并对其进行二次积分：,对方程进行两次积分
5、可得：,由挠曲线近似微分方程（10.4）式:,挠曲线方程:,转角方程：,4. 求积分常数：,由固定端的边界条件:,5. 求转角方程和挠曲线方程:,x,当 x = l 时：,6. 求B截面的转角和挠度：,(向下),(顺时针),在线弹性范围内和小变形条件下，构件（杆、轴、梁等）在多个载荷作用下产生的效果（支反力、内力、应力和变形等）是每个载荷单独作用时产生同类效果的简单叠加（代数和）。,10.3.1 载荷叠加法求梁的弯曲变形：,10.3 计算梁变形的叠加法,叠加原理（力的独立作用原理）：,根据叠加原理，当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每个载荷单独作用时引起的变形，然后把所有变形叠加起来即为这些
6、载荷共同作用时引起的变形。,例10.4 对于如下简支梁，请计算挠度wC 和转角B 。 其中q、l 和 EI 为已知。,解: 1. 有三个载荷作用的梁可以看作是每个载荷单独作用时的三个梁的叠加，即：,因此，由叠加原理：,=,+,+,2. 查表 10.1（P229)，可得：,3. 将以上结果叠加，得到截面C的挠度和截面B的转角:,积分叠加法(载荷叠加法)：,见例10.4，P233。,将梁分成AB和BC两段，研究其中一段的变形时将另一段视作刚体（即不变形或刚化）。,10.3.2 逐段分析求和法,（逐段刚化法）,常用于求外伸梁、分段等直梁的弯曲变形。,例10.5 外伸梁受载荷如图所示，试用叠加法中的逐
7、段刚化法计算外伸端C截面的挠度和转角。,解：,A,B,C,F,C,1. 研究AB段的变形：,2. 研究BC 段的变形：,将BC 段视作刚体（刚化）。,将AB段视作刚体(刚化)。,上述方法即为求弯曲变形的逐段刚化法（逐段分析求和法）。,对于变形表10.1中没有的梁（如外伸梁等），首先将其分解成表中有的梁（如简支梁、悬臂梁）；然后分段进行刚化分析。,当以某一段为研究对象时，其余各段均视为刚体（刚化）。,注意：,（大纲未要求，不讲）,10.4 简单超静定梁,10.5.1 梁的刚度条件,可从相应的设计规范或手册中查得。,10.5 梁的刚度条件与合理刚度设计,见 P239，例10.8,10.5.2 梁的合理刚度设计,选择合理的横截面，以增大梁的刚度(增大I )。,由（10.6）式,选择合适的支撑位置，以减小Mmax。,选择合适的材料，以增大梁的刚度(增大E )。,增加支撑约束：缩短梁的长度，以减小w。,（与 9.8 梁的合理强度设计 相似）,见P241图10.18。,本章完,看书上的例10.1 例10.6，例10.8,
