调和级数发散性的多种证明

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1、调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘 要：本文 给出了调和级数发散性的 18 种证明方法。其中前 13 种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证 不同的叙述，比原 证更具体明了；后 5 种是笔者用有关定理或方法导出的。关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented i

2、n this paper.Some are known and some are new.Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言调和级数 的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（13231382）在1n极限概念被完全理解之前的 400 年证明的。他的方法很简单：112345678()()注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为 ，这样的 有无穷多个，所以后一个级数是趋12向无穷大的，进而调和级数也是发散的。后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他

3、的证明是以莱布尼茨的收敛级数 为基础的。以下是他的证明。1126()n 证明： ， ， ， 121623134 1()1nn所以 .111234nsnn则 .limli()ns接着设 ，A 则 ；123460(1)n ；()C ；111620()2DCn ；3()63ED ；111204()24FEn ；356()05GF .123416023CDEF 即 .A没有一个有限数会大于等于自己，即 是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150 年，才有真正的级数理论出现。他用

4、简明的 来证明级数的无穷性，1A这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。本文给出了调和级数发散性的 18 种证明方法。其中前 13 种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后 5 种是笔者用有关定理或方法导出的。1 证法一：

5、利用反证法.假设调和级数 收敛，记其和为 S，即 S= ，1n1n由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知：S= =1+1n232 =（1+ 1)()()4n （ 1+22 1() S2从而 0 矛盾，所以调和级数必发散.122 证法二：证明调和级数 的部分和可任意大.1n依次将 九项，九十项，九百项， 括在一起得1n 123n 11()()()290909 990 9011()()()011 10从上式中可以看出 的和可任意大，故级数 发散.1n1n3 证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列 发散.ns，123ns事实上，存在 ，对任意自然数 ，总能找到两个自然数 ，0120m，当

6、然也有 ，使得02nm0200011|2ms00m= = .12据柯西收敛准则的否定叙述， 发散，从而 发散.ns1n4 证法四：证明部分和数列 的子列 发散.n2ms2ms 1111()()( )34567821m 12m1()2= 于是 .2lili(1)ms即 .2m故数列 发散，从而调和级数 发散.ns1n5 证法五：利用欧拉常数证明.证明数列 存在极限 C（欧拉常数） ，这里na，na1ln23即 =C+ ,其中 0（当 时）1l23 n因为 ，1ln()所以 ，l从而有 ，l2，1n3 ，l()ln上述 n 个不等式两边相加得 ，1ln()23于是 .1 1ln()023na即 有

7、下界.其次 应用不等式 ，有n 1.1ln()l()1n n故 有是一个单调下降的数列，因此 存在，用 C 表示，即naimna.1li(l)23n也就是 .1l(i0n显然 .lii()nsC故调和级数 发散.1n6 证法六：应用级数 （其中 ）与级数1na120na 21na有相同的收敛性.取 ， .1(,2)na 1023n而级数 发散.2111nnA故调和级数 发散.1n7 证法七：利用广义积分法.对于部分和数列 ： ns，123nsn有 ， 1dx而 ， ，1l()ndxlim()n因此 ，ins故调和级数 发散.1n8 证法八：证明由调和级数中分母末位含有 0 的项组成的子级数发散

8、.调和级数中分母末位含有 0 的项组成的子级数是1112000nu 在此级数中，分母从 10 到 100 的项共有 10 项，其和大于 ；10分母从 110 到 1000 的项共有 90 项，其和大于 ；9分母从 1010 到 10000 的项共有 900 项，其和大于 ；1 分母从 到 的项共有 项，其和大于 ；10n1n190n190n从而 .1nu 显然 发散，于是调和级数 发散.1nu 1n9 证法九：利用命题“设正项级数 收敛，且 ，1na1na，则有 ”.lim0nali0na以下是这个命题的证明：因正项级数 收敛，则对于任意给定的 ，总存在自然数 ，1n0当 时，下式成立n.12

9、211221| |nnnnaaaa 由已知 ，(,3)而 ，1221nn ,得 ， ，a2n故有 .lim0n又 ，21n故有 ，21 21()()n naaaA得 .210lili0n故有 .m()0n所以无论 为奇数或偶数时，下式成立n.lina即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕。运用该定理可得 1lim0naA故调和级数 发散.1n10 证法十：利用不等式 .ln(1)x23ns1ln()l()ln()234l()1nA. 1)(即 ，故调和级数发散.1n11 证法十一：利用平均值不等式 .112123()nnaa A取 ，123,na则 ，1()2nn A即 .123!n

10、当 ，左边为 ，右边为 ，故 发散.n1nlim!n1n12 证法十二：利用不等式 来证明.13(2,)首先证明上述不等式成立因为 nn11()()()()nn，20(1)所以 .3(,)nn所以 ；1124 ；1315642；890 112345671n 1()()234567.所以 是无穷数.123n 所以调和级数 发散.1n13 证法十三：任意给定 ，总可以找到一有理数 ，而任何正有0MpMq理数可写成互异的形如 的数有限和（见文献9） ，其中 为自然数， 为互1mmpq异的形如 的数有限和，假定最大的分母为 ，则有 当 时，1N,NpsqnN具有 ，也就是 ，所以调和级数 发散.nsM

11、lins1n以下是由作者用有关定理或方法独立导出的证法14 证法十四：利用拉阿伯判别法：若 是正项级数，1nu，有 （ ） ，则级数 收敛 ,Nn1()nur1()n1nu（发散）.在调和级数 中， 均有1n,，1 1()()()nun所以调和级数 发散.1n15 证法十五：应用厄耳玛可夫判别法：若 为单调减少的正值()fx函数，且 ，则当 时，级数 收敛；当 时，()limxef11nf1级数 发散.1()nf令 ，则fx，1()limlilimxx xeefA故级数 发散.111()23nnf n 证法十六：应用高斯判别法：在级数 中，若 及1na0(1,23)n则 当 时，级数收敛； 时11(|,0),nnaC()()级数发散； 当 时，若 则级数收敛，若 则级数发散.3)11在调和级数 中， ，1n1nan据高斯判别法知，调和级数 发散.1n17 证法十七：设 级数 则 发散.120, ,n nasa 1,na1nas以下是这个命题的证明：因为 单调增加，所以0,nas.11 1npknpnpk nnppasss 因为 ，故 ，当 充分大时，有 ，ns2nps从而 ，112npkas所以 发散.1n令 ，,na,2则