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1、1第四章 力学量用算符表达与表象变换4.1）设 与 为厄米算符，则 和 也是厄米算符。由此证明，任何一个算符 均可ABBA21i21 F分解为 ， 与 均为厄米算符，且iF Fi ,证：） BAABABA 21212121为厄米算符。 ） iiiBi 21212121也为厄米算符。BAi ）令 ，则 ，AF且定义 （1） FiF21 ,21由） ，）得 ，即 和 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 i4.2）设 是 的整函数，证明),(pxF,F, F, pixxi 整函数是指 可以展开成 。),(pxF0,),(nmnCp证： （1）先证 。11 , nm pixxi 11131 322
2、21,3,mmmmxixiipxi xxipxp同理，212211,2,nnnnnnpipxxix现在， 0, 10, ,nmnmnmnpxiCpxCF而 。0, 1nnixiF xip又 0, 10, ,nmnmnnpixCpxCFx而 0, 1nnipiF, pix4.3）定义反对易式 ，证明BA,CCA,证： BABCAAB ,CBCA ,4.4）设 ， ， 为矢量算符， 和 的标积和矢积定义为BA BAA ,， 为 Levi-civita 符号，试验证zyx,3（1）CBABAC（2）（3）证：（1）式左端 xyxzxzyzyzyx CBACBACBACB （1）式右端也可以化成 。
3、（1）式得证。（2）式左端 （ ）CBACBA 3,2（2）式 CBACBA右端 CBACBA 故（2）式成立。（3）式验证可仿（2）式。4.5）设 与 为矢量算符， 为标量算符，证明ABF（1）BA, （2）证：（1）式右端 FFBAAB（1）式左端,（2）式右端 FFBABA（2）式左端,4.6）设 是由 ， 构成的标量算符，证明Frp4（1）rFipiFL,证： （2）kjizyx, )2.4( ,题 yFzipFi piziyizi pzzypypLxzzy yy（3）xxrii 同理可证， （4）yyy FipFiL,（5）zzz rii,将式（3） 、 （4） 、 （5）代入式（2
4、） ，于是（1）式得证。4.7）证明 piLp2。i,证： zyzyzyzyx pLLLp ,利用基本对易式 pip,即得 。xxi2因此 pLp其次，由于 和 对易，所以xxxyzyzyyz xzzxzxyyxyxZyxpLi pLi pLpLL , 222因此， p,24.8）证明 （1）prirL225（2）222 pLpLpL（3）24（4）i证: （1）利用公式 ， ，有CBAprPrp prrpL 22其中 rii22rr3因此 pipL222（2）利用公式， （）0L可得 02,L 22 PpLppLL202,L 2 PppLp22L由，则（2）得证。（3） pipLp)1( 7
5、.4222 4)()1( 7.4 Li（4）就此式的一个分量加以证明，由 4.4） （2） ，CBACBA，xxx pLpLpL其中 yzxx eip（即 ）kijikj yzzy 0,622pLii ppLeipLpLxx xzyzxx类似地。可以得到 分量和 分量的公式，故（4）题得证。yz4.9）定义径向动量算符 rprpr 121证明： ， ，rra ribr1 ，ipcr, ， rrdr 2222 1 21 rpLpe证： ，ABCa r12 12 prp prrr 即 为厄米算符。r ri riririi riiipr riprrrb1132322112 rirri riiiprc
6、 1, )(22 brpdr2211rr7 rrrr 211222 2据 4.8） （1） ， 。epriprL22其中 ，iipr因而 rr222 rpr22以 左乘上式各项，即得2r rL122d)9.4221rpL4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解：一维谐振子能量 。221xmpEx又 奇， ， ，02dxe0xp（由(3.8)、(3.9)题可知 ）,xp， ，x x由测不准关系， 得 。,2x212 mEx，得 0823xdxmx211220 mEx同理有 ， 。0y0zE谐振子（三维）基态能量 。2300zyxE4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。8
7、解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数 换成e（ 为氢原子系数）而 理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为zeu 20uea。a0类氢原子基态波函数 ，仅是 的函数。are310而 ，故只考虑径向测不准关系 ， 类氢原子径向能量为：dredresin rp。zupEr2而 ，如果只考虑基态，它可写为reH2，rzeup2rdir1与 共轭，于是 ， ，rpr（1）rzemzeuEr 22求极值 r230由此得 （ ：玻尔半径； ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径） 。代入（1）式，azer020a得基态能量， emE224运算中
8、做了一些不严格的代换，如 ，作为估算是允许的。r14.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为 0。证：设定态波函数的空间部分为 ，则有EH为求 的平均值，我们注意到坐标算符 与 的对易关系：pix。upVupxHijjii 2,这里已用到最基本的对易关系 ，由此ijji,90,ii iiiii ExxiuHxup这里用到了 的厄米性。H这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符 可以表示为两个厄米算符 和 的对易子 ，则在CABBAiC,或 的本征态中， 的平均值必为 0。ABC4.13）证明在的本征态下， 。yxL（提示：利用 ，求平均。 ）yzyiL证：设 是 的本征态，本征值为 ，即z
9、mz，xLiyzyy, ，yxzxzL 011 yyzzyzzyx LmLii同理有： 。0y4.14) 设粒子处于 状态下，求 和,lmY2xL2y解：记本征态 为 ，满足本征方程l， ， ，lL221lmlzlLz利用基本对易式 ，Li可得算符关系 xyzxzyxyzyxxi 2xyzzzy LLiLi 2将上式在 态下求平均，因 作用于 或 后均变成本征值 ，使得后两项对平均值的贡献互相抵lmzlmm10消，因此 22yxL又 221 mlz2221lyx上题已证 。0L 2222 1 mlLxxxx 同理 。1mly4.15)设体系处于 状态（已归一化，即 ） ，求201YC121C（
10、a） 的可能测值及平均值;zL（b） 的可能测值及相应的几率；2（c） 的可能测值及相应的几率。x解： ， ；1212 YL20206 YL， 。zz（a）由于 已归一化，故 的可能测值为 ，0，相应的几率为 ， 。平均值 。z 21C21CLz（b） 的可能测值为 ， ，相应的几率为 ， 。2L2621（c）若 ， 不为 0，则 （及 ）的可能测值为： ， ，0， ， 。1C2xLy21） 在 的空间， 对角化的表象中的矩阵是xLlz,2 012求本征矢并令 ，则 ，1cba012得， ， ， 。 。ab2bc21,0）取 ，得 ，本征矢为 ，归一化后可得本征矢为 。0a , a102）取 ，得 ，本征矢为 ，归一化后可得本征矢为 。1cb2211）取 ，得 ，归一化后可得本征矢为 。1cab212在 态下， 取 的振幅为 ， 取 的几率为 ； 取011CYxL020211CCxL021CxL的振幅为 ，相应的几率为 ；211 421取 的振幅为 ，相应的几率为 。总几率为 。xL2011CC21C21C2） 在 的空间， 对角化表象中的矩阵xlzL,利用 121mjmjjx， ， ， 。12 xj 230xj 2310xj 12xj，本征方程010230xL edcba010230， ， ， ， ， 。abbccd
