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1、1第四章 力学量用算符表达与表象变换4.1)设 与 为厄米算符,则 和 也是厄米算符。由此证明,任何一个算符 均可ABBA21i21 F分解为 , 与 均为厄米算符,且iF Fi ,证:) BAABABA 21212121为厄米算符。 ) iiiBi 21212121也为厄米算符。BAi )令 ,则 ,AF且定义 (1) FiF21 ,21由) ,)得 ,即 和 皆为厄米算符。 则由(1)式,不难解得 i4.2)设 是 的整函数,证明),(pxF,F, F, pixxi 整函数是指 可以展开成 。),(pxF0,),(nmnCp证: (1)先证 。11 , nm pixxi 11131 322
2、21,3,mmmmxixiipxi xxipxp同理,212211,2,nnnnnnpipxxix现在, 0, 10, ,nmnmnmnpxiCpxCF而 。0, 1nnixiF xip又 0, 10, ,nmnmnnpixCpxCFx而 0, 1nnipiF, pix4.3)定义反对易式 ,证明BA,CCA,证: BABCAAB ,CBCA ,4.4)设 , , 为矢量算符, 和 的标积和矢积定义为BA BAA ,, 为 Levi-civita 符号,试验证zyx,3(1)CBABAC(2)(3)证:(1)式左端 xyxzxzyzyzyx CBACBACBACB (1)式右端也可以化成 。
3、(1)式得证。(2)式左端 ( )CBACBA 3,2(2)式 CBACBA右端 CBACBA 故(2)式成立。(3)式验证可仿(2)式。4.5)设 与 为矢量算符, 为标量算符,证明ABF(1)BA, (2)证:(1)式右端 FFBAAB(1)式左端,(2)式右端 FFBABA(2)式左端,4.6)设 是由 , 构成的标量算符,证明Frp4(1)rFipiFL,证: (2)kjizyx, )2.4( ,题 yFzipFi piziyizi pzzypypLxzzy yy(3)xxrii 同理可证, (4)yyy FipFiL,(5)zzz rii,将式(3) 、 (4) 、 (5)代入式(2
4、) ,于是(1)式得证。4.7)证明 piLp2。i,证: zyzyzyzyx pLLLp ,利用基本对易式 pip,即得 。xxi2因此 pLp其次,由于 和 对易,所以xxxyzyzyyz xzzxzxyyxyxZyxpLi pLi pLpLL , 222因此, p,24.8)证明 (1)prirL225(2)222 pLpLpL(3)24(4)i证: (1)利用公式 , ,有CBAprPrp prrpL 22其中 rii22rr3因此 pipL222(2)利用公式, ()0L可得 02,L 22 PpLppLL202,L 2 PppLp22L由,则(2)得证。(3) pipLp)1( 7
5、.4222 4)()1( 7.4 Li(4)就此式的一个分量加以证明,由 4.4) (2) ,CBACBA,xxx pLpLpL其中 yzxx eip(即 )kijikj yzzy 0,622pLii ppLeipLpLxx xzyzxx类似地。可以得到 分量和 分量的公式,故(4)题得证。yz4.9)定义径向动量算符 rprpr 121证明: , ,rra ribr1 ,ipcr, , rrdr 2222 1 21 rpLpe证: ,ABCa r12 12 prp prrr 即 为厄米算符。r ri riririi riiipr riprrrb1132322112 rirri riiiprc
6、 1, )(22 brpdr2211rr7 rrrr 211222 2据 4.8) (1) , 。epriprL22其中 ,iipr因而 rr222 rpr22以 左乘上式各项,即得2r rL122d)9.4221rpL4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。解:一维谐振子能量 。221xmpEx又 奇, , ,02dxe0xp(由(3.8)、(3.9)题可知 ),xp, ,x x由测不准关系, 得 。,2x212 mEx,得 0823xdxmx211220 mEx同理有 , 。0y0zE谐振子(三维)基态能量 。2300zyxE4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。8
7、解:类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似,只是把氢原子中有关公式中的核电荷数 换成e( 为氢原子系数)而 理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ,在类氢原子中变为zeu 20uea。a0类氢原子基态波函数 ,仅是 的函数。are310而 ,故只考虑径向测不准关系 , 类氢原子径向能量为:dredresin rp。zupEr2而 ,如果只考虑基态,它可写为reH2,rzeup2rdir1与 共轭,于是 , ,rpr(1)rzemzeuEr 22求极值 r230由此得 ( :玻尔半径; :类氢原子中的电子基态“轨迹”半径) 。代入(1)式,azer020a得基态能量, emE224运算中
8、做了一些不严格的代换,如 ,作为估算是允许的。r14.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为 0。证:设定态波函数的空间部分为 ,则有EH为求 的平均值,我们注意到坐标算符 与 的对易关系:pix。upVupxHijjii 2,这里已用到最基本的对易关系 ,由此ijji,90,ii iiiii ExxiuHxup这里用到了 的厄米性。H这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符 可以表示为两个厄米算符 和 的对易子 ,则在CABBAiC,或 的本征态中, 的平均值必为 0。ABC4.13)证明在的本征态下, 。yxL(提示:利用 ,求平均。 )yzyiL证:设 是 的本征态,本征值为 ,即z
9、mz,xLiyzyy, ,yxzxzL 011 yyzzyzzyx LmLii同理有: 。0y4.14) 设粒子处于 状态下,求 和,lmY2xL2y解:记本征态 为 ,满足本征方程l, , ,lL221lmlzlLz利用基本对易式 ,Li可得算符关系 xyzxzyxyzyxxi 2xyzzzy LLiLi 2将上式在 态下求平均,因 作用于 或 后均变成本征值 ,使得后两项对平均值的贡献互相抵lmzlmm10消,因此 22yxL又 221 mlz2221lyx上题已证 。0L 2222 1 mlLxxxx 同理 。1mly4.15)设体系处于 状态(已归一化,即 ) ,求201YC121C(
10、a) 的可能测值及平均值;zL(b) 的可能测值及相应的几率;2(c) 的可能测值及相应的几率。x解: , ;1212 YL20206 YL, 。zz(a)由于 已归一化,故 的可能测值为 ,0,相应的几率为 , 。平均值 。z 21C21CLz(b) 的可能测值为 , ,相应的几率为 , 。2L2621(c)若 , 不为 0,则 (及 )的可能测值为: , ,0, , 。1C2xLy21) 在 的空间, 对角化的表象中的矩阵是xLlz,2 012求本征矢并令 ,则 ,1cba012得, , , 。 。ab2bc21,0)取 ,得 ,本征矢为 ,归一化后可得本征矢为 。0a , a102)取 ,得 ,本征矢为 ,归一化后可得本征矢为 。1cb2211)取 ,得 ,归一化后可得本征矢为 。1cab212在 态下, 取 的振幅为 , 取 的几率为 ; 取011CYxL020211CCxL021CxL的振幅为 ,相应的几率为 ;211 421取 的振幅为 ,相应的几率为 。总几率为 。xL2011CC21C21C2) 在 的空间, 对角化表象中的矩阵xlzL,利用 121mjmjjx, , , 。12 xj 230xj 2310xj 12xj,本征方程010230xL edcba010230, , , , , 。abbccd