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1、第1章 矩阵习 题1. 写出下列从变量x, y到变量x1, y1的线性变换的系数矩阵：(1)； (2) 2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 4 。b1a1。 3 1 。b2a2。 2 2 。b3 3. 设，求3AB-2A和ATB.4. 计算(1) (2) 5. 已知两个线性变换 ,写出它们的矩阵表示式,并求从到的线性变换.6. 设f (x)=a0xm+ a1xm-1+ am，A是n阶方阵，定义f (A)=a0Am+ a1Am-1+ amE.当f (x)=
2、x2-5x+3，时，求f (A).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E.7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵： (1)(2).9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.=B.10. 设，其中，求A9.11. 设 ，矩阵B满足AB=A+2B，求B.12. 设, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A, B, C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（ ）.(A) ACB=E； (B) CBA=E； (C
3、) BAC=E； (D) BCA=E.2. 设,，则必有 ( ) .(A) AP1P2=B； （B）AP2P1=B； (C) P1P2A=B； (D) P2P1A=B.3. 设A为阶可逆矩阵，将A的第列与第列交换得B，再把B的第2列与第3列交换得C，设 ，则C-1=（ ）. (A) A-1P1P2； (B) P1A-1P2； (C) P2P1A-1； (D) P2A-1P1.4. 设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（ ）.(A) A-E不可逆 ； (B) A-2E不可逆 ； (C) A-3E可逆； (D) A-E和A-2E都可逆.5. 设A=(1,2,3)，B=(1
4、,1/2,1/3)，令C=ATB，求Cn.6. 证明：如果Ak=O，则(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1，k为正整数.7.设A,B为三阶矩阵,且A-1BA=6A+BA，求B.8. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求.9. 设 （），求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组 2.当x取何值时，.3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13(2n-1)24(2n).4. 证明： .5. 已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.6. 计算下列行列式:(1) (2) (3) (4) （
5、5），其中7设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|n-1，(n 2) 8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算 |-2A*B-1|9.设，利用公式求A-1.复习题二1设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*，证明：(AB)*= B*A*2.设，求A-13.已知A1, A2, B1, B2都是31矩阵，设A=( A1, A2, B1,)，B=( A1, A2, B2)，|A|=2，|B|=3，求|A+2B|4设A, B都是n阶方阵，试证：第3章 向量空间习 题1. 设1=(1,-1,1)T, 2=(0,1,2)T, 3=(2,1
6、,3)T，计算31-22+32. 设1=(2,5,1,3)T, 2=(10,1,5,10)T, 3=(4,1,-1,1)T,且3(1- x)+2(2+x)=5(3+x) ,求向量x.3. 判别下列向量组的线性相关性: (1) 1=(-1,3,1)T, 2=(2,-6,-2)T, 3=(5,4,1)T ；(2) 1=(2,3,0)T, 2=(-1,4,0)T, 3=(0,0,2)T .4. 设1=1, 2=1+2, 3=1+2+a3，且向量组1, 2, 3线性无关，证明向量组1, 2, 3线性无关5. 设有两个向量组1, 2, 3和 1=1-2+3, 2=1+2-3, 3= -1+2+3，证明这
7、两个向量组等价.6. 求向量组1=(1,2,-1)T, 2=(0,1,3)T, 3=(-2,-4,2)T, 4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设1, 2, n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量1,2,n能由它们线性表示，证明：1, 2,n线性无关8. 设有向量组1, 2, 3, 4, 5，其中1, 2, 3线性无关，4=a1+b2,5=c2+d3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组1, 3, 4, 5的秩9. 设矩阵A= (1,2,n), B=(n,n-1,1)，求秩R(ATB).10. 设矩阵，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子
8、式.11. 已知矩阵，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.12. 设，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则 R(A)+R(A-E)=n 14. 已知向量空间的两组基为,和,，求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵，已知A的秩为3，求k的值.2设向量组A: 1, ,s与B: 1,r，若A组线性无关且B组能由A组线性表示为(1,r)(1, ,s)K，其中K为矩阵, 试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r.3设有三个n维向量组A：1, 2, 3；B：1, 2, 3, 4；C：1,
9、2, 3, 5若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组1, 2, 3, 4-5线性无关4设向量组A: 1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,3=(0,1,1)T 和B: 1=(-1,1,0)T,2=(1,1,1)T,3=(0,1,-1)T(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间的基；(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3) 已知向量在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求在A组基下的坐标 第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组的矩阵表示形式及向量表示形式. 2.用克朗姆法则解下列线性方程组,其中 3.问取何值时，齐次线性方程组有非零解？4. 设有线性方程组，讨论当k为何值
10、时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1, 2, 3是它的三个解向量，且1=(2,3,4,5)T, 2+3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解7 .求下列非齐次线性方程组的通解： 8. 设有向量组A：，及向量，问向量能否由向量组A线性表示？9. 设*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，1, 2, n-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）*, 1, 2, n-r线性无关；（2）*, *+1, *+2, *+n-r线性无关复习题四1.设，且方程组AX=的解空间的维数为2，则a= .2设齐次线性方程组a1x1+a2x2+anxn=0,且a1,a2,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为 .
