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1、10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入和输出之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示 (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式 (10.18)如果引入后移算子，即 (10.19)则(
2、10.18)式可写成多项式的形式 (10.20)式中方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。2. 差分方程的解线性常系
3、数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解由齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成， 即 (10.21)其中特解可用试探法求出，非齐次差分方程的特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强迫运动。(10.17)的特征方程为 (10.22)其中为特征方程的根。根据特征根的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。考虑下面三种情况。(1) 无重根，即当时，则通解为 (10.23)式中待定系数，由系统的个初始条件确定。(2) 全为重根，即 ，则通解为 (10.24)其中为待定系数。(3) 有个重根，其余的不是重根，即，当时；而，当且时则通解为 (10.25)其中为待定系数。从上面讨论中，可以归纳
4、出经典的解差分方程方法如下：(1) 求齐次方程的通解；(2) 求非齐次方程的一个特解；(3) 差分方程的全解为 ；(4) 利用个初始条件或其它条件确定通解中的个待定系数。例10-1 求解二阶差分方程，解：先设特解为，代入方程试探求出。再由特征方程得出和，则齐次方程的通解为方程的全解为代入初始条件得求出和。因而，非齐次差分方程的解为二、变换 类似于连续实变函数的拉氏变换，对序列也有相应的变换。这里也是一个复变量。通过变换，在复数域内研究和运算有时比直接在时域内分析更为简便，因此变换是线性时不变离散系统时域分析和稳定性分析的基础，其主要局限性是它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息
5、。1. 定义在线性连续系统中，连续时间函数的拉氏变换为，同样在线性离散系统中，也可以对采样信号作拉氏变换。采样信号可描述为 (10.26)则对采样信号作拉氏变换得令，则有 (10.27)可看作是的离散拉氏变换或采样拉氏变换。一般称为离散序列的变换，有时也称之为的象，记作 。是复变量的函数，它被表示为一个无穷级数。如果此级数收敛，则序列的变换存在。序列的变换存在的条件是(10.27)式所定义的级数是收敛的，即存在。原函数和象函数是一变换对，即和下面计算几种简单函数的变换，并列出一个常用的变换表（表10-1）。(1) 单位脉冲时间序列则延迟的单位脉冲时间序列则(2) 单位阶跃时间序列则(3) 单位
6、斜坡时间序列则(4) 衰减指数序列则表10-1 常用拉氏变换及变换表 1 1 2. 变换的基本性质(1) 线性性质变换是一种线性变换，即 (10.28)其中和为两个任意常数。线性性质的证明可以由定义直接得到。(2) 滞后性质序列的变换为 (10.29)同样，由于单边序列均为零，故 (10.30)从这个性质可以看出代表序列滞后了个周期。(3) 超前性质序列的变换为 (10.31)推广到超前步序列，可得 (10.32)(4) 象函数尺度的变化 (10.33)(5) 初值定理由可得 (10.34)(6) 终值定理由得 (10.35)(7) 卷积和的卷积被定义为 (10.36)则 (10.37)以上是
7、几个主要的变换性质，这些性质为变换的计算和离散系统的分析都带来很大方便。3. 变换的方法在许多参考书中都附有变换表，可以利用它查出序列的变换。但是即使所引用的变换表是如何的详细，在实际应用中还是常常遇到有的变换不能从变换表上直接查出来的时候。因而熟悉变换的基本性质和运算方法是十分必要的。常用的变换方法有下列几种。1) 级数求和法：这是最直接的方法，即由变换的定义出发，应用变换的基本运算规则和级数求和公式而求得。例如在前面定义一节中所用的例子。2) 部分分式法：已知某函数的拉式变换，先把它分解为一些基本的部分分式，然后再分别求出与各基本部分分式相对应的原函数，对离散化得，对取变换得到，最后由变换
8、的线性性质可得 。例10-23) 留数计算法：由复变函数中留数定理可知，如果函数除有限个极点外，在某域内是解析的，则 (10.38)其中为内一段封闭的积分回路，表示函数在极点的留数。留数的计算方法因是否有重极点而异，1）当无重极点时，即当时，则2）当所有极点都相同时，即，则3）当有个重极点时，即，而，且，则例10-3 例10-4 4. 反变换由求出相应的脉冲序列称为反变换。记作 (10.39)下面给出几种常用的求反变换的方法。1) 幂级数展开法：把展开为的负幂级数，即把它展开为的幂级数，的系数相应于在第个采样时刻的时间函数的值。当是有理函数时，反变换可以用长除法得到。例如 (10.40)如果能
9、够找到的一般数学表达式则最好，否则也可以写出若干项的数值来。例10-52) 部分分式法设是的有理分式，当其实根互不相同时，利用部分分式法求反变换的步骤为： 展开 ，其中 把展开式乘以 ，得 反演展开式得 ，其中 例10-6 现在讨论如果中至少包含一对共轭复根的情形，即其中是把具有共轭复根的项分离出来后的剩余分式。由变换表知则的反变换可由前面介绍的方法求得。例10-7把具有共轭复根项化为标准形式，有于是3) 留数计算法由留数定理，得 (10.41)其中是的个极点。留数的计算方法随是否有重极点而异，1）当无重极点时，即当时，则2）当所有极点都相同时，即，则3）当有个重极点时，即，而，且，则例10-
10、8例10-9 5. 用变换法求解差分方程类似于用拉氏变换可以求解微分方程，利用变换中的滞后和超前性质，以及已知函数的变换，也可以求线性常系数差分方程的解。它把解差分方程变为以为变量的代数运算问题。考虑差分方程 (10.42)利用变换的线性性质，对差分方程两边作变换，得 (10.43)由超前性质，得 (10.44)式中代表(10.44)式第一个等式右端第二项起所具有的多项式。如果把(10.43)右端的变换记为，并把(10.44)代入(10.43)，可得它是一个的代数方程，可把它写成 (10.45)式中为(10.45)第一个等号右端的分母所代表的特征多项式。是第一个分式的分子，它由的个初始条件所决
11、定。对(10.45)作反变换，可得 (10.46)(10.46)表示差分方程(10.42)的解由与初始条件有关的通解和与驱动项有关的特解两部分组成。例10-10 求解二阶系统的阶跃响应。设，。解：对方程两端取变换，得其中和为二阶方程的根，和为展成部分分式后的系数。求反变换得此二阶系统的响应曲线形状将与和取值的大小及正负号有关。三、脉冲传递函数1. 定义一个线性时不变离散系统的脉冲传递函数定义为：在初始静止的条件下，是系统输出脉冲序列的变换和输入脉冲序列的变换之比。即 (10.47)有时又被称为传递函数。对用线性常系数差分方程(10.42)所代表的离散系统，当考虑初始条件为零时，两边取变换得 (10.48)系统的特征方程为 (10.49)由特征方程可求出系统的极点，由可求出系统的零点。系统的极点数目表示系统的阶数。
