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1、10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型,10 灰色预测法,回总目录,数学院刘心歌,10.1 灰 色 预 测 理 论,一、灰色预测的概念,（1）灰色系统、白色系统和黑色系统,白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。,回总目录,回本章目录,黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。,灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。,回总目录,回本章目录,灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测
2、的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。,（2）灰色预测法,回总目录,回本章目录,灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列， 然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况。,回总目录,回本章目录,灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。,回总目录,回本章目录,（3）灰色预测的四种常见类型, 灰色时间序列
3、预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。,回总目录,回本章目录,系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。 拓扑预测 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。,回总目录,回本章目录,二、生成列,为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据
4、处理后的时 间序列即称为生成列。,回总目录,回本章目录,累加,累加是将原始序列通过累加得到生成列。,灰色系统常用的数据处理方式有累加 和累减两种。,（1）数据处理方式,回总目录,回本章目录,累加的规则:,将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。,回总目录,回本章目录,记原始时间序列为：,生成列为：,上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：,回总目录,回本章目录,对非负数据，累加次数越多则随机
5、性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。,回总目录,回本章目录,累减,将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列,累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。,一次累减的公式为：,回总目录,回本章目录,三、关联度,关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。,（1）关联系数,设,则比较数列 对参考数列 的关联系数定义为：,回总目录,回本章目录,式中：,第k个点,称为分辨率，01,一般取=0.5； 越大, 分辨率越小. 越小, 分辨率越大.
6、,对单位不一致，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。,的绝对误差；,和,为两级最小差；,为两级最大差；,回总目录,回本章目录,（2）关联度,和,的关联度为：,回总目录,回本章目录,（3）关联系数,设,回总目录,回本章目录,则比较数列 对参考数列 的关联系数定义为：,式中：,为两级最小差；,为两级最大差；,回总目录,回本章目录,（4）关联度,对,的关联度为：,回总目录,回本章目录,一个计算关联度的例子,工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：,工业,农业,运输业,商业,参考序列分别为,，被比较序列为 ,试求关联度。,回总目录,回本章目录,
7、解答：,以,为参考序列求关联度。,第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：,回总目录,回本章目录,第二步：求序列差,第三步：求两极差,回总目录,回本章目录,第四步：计算关联系数,取=0.5，有：,从而：,回总目录,回本章目录,第五步：求关联度,计算结果表明，运输业和工业的关联程度 大于农业、商业和工业的关联程度。,为参考序列时，计算类似，这里略去。,回总目录,回本章目录,10.2 GM(1,1)模型,一、GM（1，1）模型的建立,设时间序列,有n个观,察值，通过累加生成新序列,则GM（1，1）模型相应的微分方程为：,其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。,回总目录,回本章
8、目录,设,为待估参数向量，,最小二乘法求解。解得：,求解微分方程，即可得预测模型：,，可利用,回总目录,回本章目录,回总目录,回本章目录,灰色预测检验一般有残差检验、关联度检,二、模型检验,（1）残差检验,按预测模型计算,并将,累减生成,然后计算原始序列,与,的绝对误差序列及相,对误差序列。,验和后验差检验。,回总目录,回本章目录,（2）关联度检验,根据前面所述关联度的计算方法算出,与原始序列,的关联系数，然后计算出关联,度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。,回总目录,回本章目录,（3）后验差检验,a.计算原始序列标准差:,回总目录,回本章目录,b. 计算绝对误差序列的标准
9、差：,c. 计算方差比：,回总目录,回本章目录,d. 计算小误差概率：,令:,，,则：,P 0.95 0.80 0.70 0.70,C 0.35 0.50 0.65 0.65,好 合格 勉强合格 不合格,回总目录,回本章目录,10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型,一、残差模型,若用原始经济时间序列,模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的 GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预 测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差 模型。,建立的GM(1,1),回总目录,回本章目录,二、 GM（n，h）模型,GM（n，h）模型是微分方程模型，可用 于对描述对象做长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原始表征量表示为时间,，并有,（N表示自然数集），即可用GM模型对系统进行描述。,，,序列,回总目录,回本章目录,Example 某地区1-17年平均降雨量如下表,规定年降雨量小于或等于320为旱灾, 请进行旱灾预测.,其对应的时刻数列为,做一次累加得,解：得到灾变数列,建立GM模型得,通过预测到第6个及第7个数据为,由于21.68与17相差4.68, 这表明下一次旱灾将发生在四年以后,
