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1、,工程力学,第八章 弹性杆件横截面上的正应力分析,一、弯曲正应力,当外加力偶或横向力作用于杆件纵向 的某一平面内时，杆件将发生弯曲变形， 其轴线将弯曲成曲线。,8-2 对称弯曲正应力,A,B,对称弯曲,在AC和DB段，梁的横截面既有弯矩，又有剪力，这种情况称 为横力弯曲。,在CD段内，梁的横截面上 剪力为零，而弯矩为常量，这 种情况称为纯弯曲。,梁在纯弯曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。,二、梁在纯弯曲时的正应力,1、变形几何关系,作如下假设： 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后 的轴线，即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向受拉 或受压
2、状态。, 中性层,中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。,中性轴：横截面与中性层的交线。,纵向线aa变形后的长度为:,aa 变形前的长度等于中性层的长度,纵向线aa的应变为,即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。,中性层长度不变, 所以,2、物理关系,因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:,即：纯弯曲时横截面上任一点的 正应力与它到中性轴的距离y成正比。 也即，正应力沿截面高度呈线性分布。,3、静力学关系,对横截面上的内力系，有:,根据静力平衡条件，纯弯曲梁只有对z轴的力偶矩M,即：,由:,z 轴通过形心,即：中性轴通过形心。,由:,因为y轴是对
3、称轴，上式自然满足。,EIz 梁的抗弯刚度,将上式代入,由:,惯性矩,在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。,令:,式中Wz称为弯曲截面系数，其单位为m3。,例：悬臂梁受力及截面尺寸如图，求梁的1-1截面上A、B两点的正应力。,解：（1）计算1-1截面上的弯矩,（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩,（3）确定所求应力点到中性轴的距离，计算各点的应力。 A点： B点：,将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正 应力若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 也可根据梁变形的情况来判断，即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值
4、。,例：一水平放置的No.10普通热轧槽钢制悬臂梁，受力如图。外力都作用在铅垂对称面内。已知Fp=1.2KN,M=2.2KN.m,求： （1）1-1截面上A、B两点的正应力；（2）梁内最大正应力。,解：（1）画弯矩图确定1-1截面上的弯矩与梁内最大弯矩。 1-1截面： 2-2截面：,（2）确定中性轴位置及惯性矩 查表，No.10普通热轧槽型钢,（3）确定所求点到中性轴的距离，计算指定点的应力 A点： B点：,（4）计算梁内最大正应力 最大正应力发生在2-2截面上 距中性轴最远的点。,例：如图所示圆轴在A、B两处的轴承可近似地视为简支，轴的外伸部分是空心的，求轴内的最大正应力。,解：1.作轴的弯
5、矩图，判断可能的危险截面,2、计算实心与空心截面的惯性矩,B截面：,C截面：,3、计算最大应力,B截面：,C截面：,轴中的最大正应力发生在截面处（即实心部分）。,例：T形截面铸铁外伸梁的载荷和尺寸如图，试求梁内的最大拉应力和压应力。,解：（1）作弯矩图 截面B有最大负弯矩，MB=-5kNm 在x=0.87m处截面D剪力为零， 弯矩有极值，其值为MD=3.8kNm,（3）计算惯性矩 平行轴定理式,（2）确定中性轴位置 设截面形心到顶边的距离为 yc，取顶边轴z1为参考轴,(3)求最大正应力 截面B：上边缘有最大拉应力， 下边缘有最大压应力 截面D：正弯矩，可能发生比截面B还要大的拉应力,四种基本
6、变形：拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲,8-3 斜弯曲与拉(压)弯组合,一、组合变形,组合变形： 由两种或两种以上基本变形组合的变形。,分析组合变形时，可以先将外力进行简化或分解，转化为几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形（拉压、扭转或弯曲）。,二、叠加原理,这样，可以分别计算每一种基本变形各自引起的内力、应力、应变和位移，然后把所得的结果进行叠加，便是构件在组合变形下的内力、应力、应变和位移。这就是叠加原理。,条件： 要求内力、应力、应变和位移等与外力呈线性关系,当载荷作用面不在梁的纵向对称面内时，梁的弯曲轴线将不在载荷作用面内，即发生斜弯曲。此时，中性轴不再与载荷的作用面垂直
7、。,y,z,c,P,平面弯曲的两大特征： 1、弯曲后的轴线在载荷作用面内；2、中性轴与载荷的作用面垂直。,要求：载荷作用在纵向对称面内,三、斜弯曲两相互垂直平面内弯曲的组合,1.外力分解：,2.内力计算：,3. 应力计算：,上拉、下压,前压、后拉,利用叠加原理得x 截面上C 点处的正应力为,可知截面C上任一点的正应力是：,固定端截面上任一点的正应力是：,截面上C 点处的正应力为,上述分析计算中，式中各物理量均可取绝对值，而各项应力的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。,中性轴与z 轴的夹角q 为,上式表示中性轴为通过截面形心的直线。,式中， 为力F与y轴的夹角。,斜弯曲,平面弯曲,根据中性轴
8、定义，中性轴上各点处的正应力均为零，令 代表中性轴上任意点的坐标令 ，即得中性轴方程为,中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。 作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。 危险点的应力状态,对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大应力一定发生在角点处。,例: 求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。,P1=1 kN,P2=1.6 kN,1m,1m,y,z,z,y,9cm,18cm,A,B,解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点，二者大小相等。,固端截面：,在外力作用下同时发生
9、拉伸 (压缩 ) 与弯曲两种基本变形，称为拉弯组合变形。,轴向拉压,平面弯曲,四、拉伸（压缩）与弯曲组合变形,横向力和轴向力同时存在； 力作用于截面形心，但作用线与x轴成一定夹角； 力作用线与轴线平行，但不通过截面形心；,在这些情况下，杆将产生弯曲与轴向拉压的组合变形，简称拉(压)弯组合变形。,拉（压）弯组合的三种情况,外力分解,横向力与轴向力共同作用,2内力计算,在 m-m 截面上,叠加,3应力计算,叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：,危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘。由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸或单向压缩),中性轴发生平移.,横截面上任一点（
10、y,z）处的正应力,中性轴方程,截面上同时作用有轴力以及两对称面内的弯矩,中性轴方程,中性轴是一条不通过截面形心的斜直线,是两垂直平面内弯曲的情况，中性轴是通过截面形心的斜直线。,D处：,C处：,例：如图所示起重机的最大吊量为F=12KN，若横梁 AB为NO.16工字钢，试求梁AB内的最大正应力。,解：（1）取横梁AB为研究对象，画受力分析图，列平衡方程,（2）画内力图,可知截面C为危险截面。,（3）应力计算,由附录查16号工字钢的数据：,最大应力发生在截面C的下边缘，为最大压应力,例：开口链环由直径d=12mm 的圆钢弯制而成，其形状如图所示。链环的受力及其他尺寸均适于图中，试求： （1）链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；（2）中性轴与截面形心之间的距离。,例：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示,试计算立柱内的最大正应力。,解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩,（2）立柱横截面的内力,（3）立柱横截面的最大应力,解：截面法求内力：,FN=F 轴向压缩； My=Fz 在xz平面内弯曲； Mz=Fy 在xy平面内弯曲。；,例：双向偏心拉压,最大压应力：,最大拉应力：,
