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1、数学与应用数学 毕业论文：导数与原函数在经济学中的应用 毕 业 论 文 题 目: 导数与原函数在经济学中的应用学院 直属系 : 数学与计算机学院数学系 年级 、 专业: 数学与应用数学 姓 名: 学 号: 指 导 教 师 : 完 成 时 间 : 目录 摘 要2 1、前 言3 2、导数和原函数的定义 4 3、经济学中各种边际量和弹性的定义和数学推导5 4、由边际函数求原函数12 5、导数与原函数在经济学中的应用举例 14 总结与体会 20 致 谢 词 20 参 考 文 献 20 导数与原函数在经济学中的应用摘要：在经济学疑难问题的处理中，我们通常会涉及到运用导数和原函数的情况，比如经济学中的边际
2、分析和需求价格弹性等概念就是运用导数的性质而得出的。它的应用大大地推动了经济学的发展，所以综合运用数学理论知识分析和解决经济学中的疑难问题的是未来经济学的发展方向。本篇文章主要根据上述的思想，利用导数和原函数的性质解决经济学中的问题，并掌握这种重要的数学思想，对以后学习和探究经济学中更深层的问题有很大的帮助。 关键词：函数；原函数； 边际分析；需求价格弹性。 Abstract:In processing the problems of the economics , we usually involve the use of functions and their primitive func
3、tions , such as, the concepts of marginal economics analysis and price elasticity of demand. And their applications have greatly promoted the development of economics, therefore, comprehensive knowledge of the use of mathematical theory to analyze and solve problems in economics is the future direct
4、ion of development economics. According to the above-mentioned ideas, this article will solve some problems of economicsby the use of the properties of functions and the primitive functions. And master the important mathematical ideas, to learn and explore the future of economics in the more profoun
5、d issues of great help .Keywords : function; primitive function; marginal analysis; price elasticity of demand. 1、前言19世纪70年代边际效用学派的出现被认为是经济学中爆发了一场全面革命的标志。这场革命被称为边际革命。这场革命使经济学从古典经济学强调的生产、供给和成本，转向现代经济学关注的消费、需求和效用。 边际革命从19世纪70年代初开始持续到二十世纪初，相继二、三十年，边际效用学派的代表人物应该是英国经济学家杰文斯，洛桑学派的法国经济学家瓦尔拉和奥地利学派的门格尔。边际革命包含
6、着两项重要内容，即边际效用价值论和边际分析方法的广泛运用。 经济学的研究进入消费领域是资本主义经济发展的需要。资本主义经过了三、四百年的发展，竞争加剧，生产矛盾比较突出，而市场问题集中呈现在供求关系上，供求反映了人们的消费和欲望，所以经济学的研究不能不从人们的消费和欲望出发。门格尔曾经指出：“一切经济理论研究的出发点都是人类的欲望本性。没有欲望，就没有经济活动，就没有社会经济和以它为基础的科学。对欲望的研究是经济学的关键”。所以借助于边际分析的方法来测量消费者欲望的满足程度，衡量物的效用从而决定价值，推动着经济学的研究。 边际分析的方法实际上是一种数学分析方法，也就是运用数学中的微积分去观察经
7、济问题。但是这一方法开始还不为更多的人所接受，甚至门格尔对在经济理论中使用数学的方法都表示怀疑。门认为经济学理论是一种理性的、逻辑的科学，不可能用数学方法去“精确”测定，只能用演绎法或归纳法。随着时间的推移和经济研究的实践，特别是经济资源“稀缺性”的提出，使越来越多的人接受这一方法，运用边际分析的方法去观察经济问题。“稀缺论”认为，财富的增长，人类福利的增进不是经济增长的自由展现，而是经济资源的最优配置；不是一切增量投入都是可取的种理论的影响下，在以后的经济研究中，经济学家提出了边际生产力、边际成本、边际收益、边际替代率、边际消费倾向等范畴，极大地丰富了经济学研究的内容。所以，边际分析的广泛使
8、用是经济学研究的重大变革。在有定义，在自变量的改变量，相应函数的改变量是。若极限存在，称函数在可导（或存在导数），此极限称为函数在的导数（或微商），表为或，即 或 若极限不存在，称函数在不可导。若极限 与 都存在，则分别称为函数在右可导和左可导，其极限分别称为函数在的右导数和左导数，分别表为，即 与 定理1 若函数可导，则函数连续。2.2 原函数：设函数 则称函数的原函数，或简称定理2 若的一个原函数，则函数的无限多个原函数仅限于的形式。2.3不定积分：函数的所有的原函数称为函数的不定积分，表为 其中称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数。3、经济学中各种边际量和弹性的定义和数学推导3.
9、1 边际量正是数学中的导数在经济学中大量的运用，进而产生了边际效用、边际消费倾向、边际成本、需求价格弹性、供给价格弹性等。大大地推动了经济学的发展。边际的概念植根于高等数学的一阶导数和偏导数的概念。在经济学中根据不同的经济函数我们可求不同的边际。如边际成本、边际收入、边际效用、边际消费、边际储蓄等。边际分析实质上是研究函数在边际点上的极值，要研究因变量在某一点递增、递减变动的规律，这种边际点的函数值就是极大值或极小值，边际点的自变量是作出判断并加以取舍的最佳点，据此可以作出最优决策，因此是研究最优化规律的方法。为可导函数,则称导数为的边际函数。在点处的值为边际函数值。即:当时,改变一个单位,改
10、变了个单位。3.1.2边际的含义 经济学中的边际指的是因变量随着自变量的变化而变化的程度，即自变量变化一个单位，因变量会因此而改变的量在点处可导,则在内的平均变化率为;在处的瞬时变化率为.在经济学中称它为在处的边际函数值。 设在点处,从处改变一个单位时 研究经济问题时,其自变量的变化一般是一个整数单位 ,函数的增量的准确值为:.由微分在近似计算中的应用知道,的近似值为: 若, 标志着由处减少一个单位 . 这说明在处,当改变一个单位时,近似改变了个单位.在具体经济问题中解释边际函数值的具体意义时,一般都省略“近似”二字.于是,有如下定义: 下面我们讨论经济学中常用的几个边际函数。 1 边际成本
11、总成本的导数 称为边际成本.边际成本的经济意义 对于产量只取整数单位的产品而言,一个单位的变化则是最小的变化.边际成本应表示:当已生产了个单位产品时,再增加生产一个单位产品使总成本增加的数量。说明 1 因为总成本等于固定成本与可变成本之和.则边际成本为:.显然,边际成本与固定成本无关,只与可变成本有关,它反映了企业在短期生产中能直接控制的那部分成本。 2 平均边际成本 是平均成本的导数。即: 2 边际收益 总收益函数的导数 称为边际收益。 边际收益的经济意义: 边际收益表示销售个单位产品后,再销售一个单位的产品所增加的总收益。 说明 1 若已知商品的价格函数,此时总收益函数为,则边际收益为:.
12、若价格函数 常数,则,此时边际收益 常数 即等于只销售一个单位产品的收益商品的价格 。 2 平均边际收益为: 即平均边际收益就是商品的边际价格. 3 边际利润 总利润函数的导数 称为边际利润。边际利润的经济意义: 边际利润表示当已生产了个单位产品时,再增加生产一个单位产品所增加的利润数量。 说明 1 一般情况下,总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差,即,则边际利润:.也就是说边际利润等于边际收益与边际成本之差。且有: 2 当时的经济意义是:如果产量已达到,再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加的成本,因而总利润有所增加。而当时的经济意义是:此时,再增加产量,所增加的收益小于所增加的生
13、产成本,从而总利润将减少。 4 边际需求 若是需求函数,则需求量对价格的导数 称为边际需求函数。 的反函数是价格函数.价格对需求量的导数 称为边际价格函数,它与边际需求函数互为倒数。 边际需求函数的经济意义:当产品的价格在的基础上,上涨 或下降 一个单位时,需求量将增加 或减少 个单位。 3.2弹性 弹性概念在经济学中得到广泛的应用。一般说来，只要两个经济变量之间存在着函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说，它是这样一个数字，它告诉我们，当一个经济变量发生1%的变动时，由它引起的另一个经济变量变动的百分比。在经济学中，弹性的一般公式为：弹性系数 设两个经济变
14、量之间的函数关系为则弹性的一般公式还可以表示为： （）式中，为弹性系数；、分别为X、Y的变动量。该式表示：当自变量变化百分之一时，因变量Y变化百分之几。若经济变量的变化量趋于无穷小，即：当（）式中的时，则弹性公式为： 通常将（）式称为弧弹性公式，将（）式称为点弹性。3.2.1 弹性函数 对于一般的,如果是可导函数,且,则有 是的函数,称为的弹性函数 简称为弹性 。 说明 1 弹性的意义:函数在点处的弹性反映了变化幅度对的变化幅度的大小的影响,也就是对变化反映的强烈程度 或灵敏度 。具体地, 表示在处,当改变1%时,近似地改变了%。在应用问题中解释弹性的具体意义时,我们还是略去“近似”二字。 2 由弹性的定义 这样，弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。 3 我们在讨论经济问题时,通常是比较其弹性的绝对值的大小,并且常常根据其绝对值的大小对弹性进行如下分类: 当时
