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1、1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、创设情境,导入新课：1 现实生活中的“周而复始”现象： （1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？ （2）现在下午2
2、点30，那么每过24小时候是几点？（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）2数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律 正弦函数性质如下：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kZ重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当增加（）时，总有也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意，恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、师生互动，新
3、课讲解： 1周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题： （1）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）余弦函数呢？ （2）观察等式 是否成立？如果成立，能不能说 是y=sinx的周期？ （3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ （是，其原因为：） 2.最小正周期：T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=
4、cosx的最小正周期为2p （一般称为周期） 从图象上可以看出，；，的最小正周期为；3、例题讲解 例1（课本P35例2） 求下列三角函数的周期： （3），解：（1），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以，函数，的周期是（2），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是（3），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是变式训练1：求下列三角函数的周期：（1） y=sin3x （2）y=cos （3）y=3sin (4) y=sin(x+) (5) y=cos(2x+)解：1 sin(3x+2p)=sin3x 又si
5、n(3x+2p)=sin3(x+) 即：f (x+)=f (x) 周期T=2 cos=cos()=cos即：f (x+6p)=f (x) T=6p 3 3sin=3sin(+2p)=3sin()=f (x+8p) 即：f(x+8)=f(x) T=8p 4 sin(x+)=sin(x+2p) 即f(x)=f(x+2p) T=2p 5 cos(2x+)=cos(2x+)+2p=cos2(x+p)+ 即：f(x+p)=f(x) T=p 由以上练习，请同学们自主探究T与x的系数之间的关系。小结：形如y=Asin(x+) (A,为常数,A0, xR) 周期 y=Acos(x+)也可同法求之一般结论：函数
6、及函数，的周期课堂巩固练习2 快速求出下列三角函数的周期(1)y=sin （2） y=cos4x+1 (3) y= (4)y=sin()(5)y=3cos(-)-1三、课堂小结：1.周期函数定义：对定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x). 2.y=sin x与y=cos x的周期都是2kp,最小正周期是2. 3.及的周期4、 作业布置 1、P52 3 2、金太阳导学案与固学案 4 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；由于cos(x)=c
7、osx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x
8、,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)=f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。例2： 判断下
9、列函数的奇偶性 (1)y=sinxcosx (2)y=cos2x变式训练2：判断下列函数的奇偶性（1）y=sinx+cosx (2)y=sin2x5.单调性从ysinx，x的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.例3：求
10、函数y=的单调递增区间。变式训练3：求函数y=的单调递减区间。6最大值与最小值。正弦函数y=sinx当x=时取最大值1，当x=时取最小值-1。余弦函数y=cosx当x=时取最大值1，当x=最取最小值-1。（以上）例4：（课本P38例3）下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？（1）y=cosx+1 (2)y= -3sin2x变式训练4：（课本P39例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。； 课堂巩固练习2（课本P40练习NO：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的求法。2、正
11、弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。3、会求的单调区间。4、会求的最值。四、课时必记：1、一般结论：函数及函数，的周期2、y=sinx为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx是偶函数，图象关于y轴对称。3、正弦函数y=sinx每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数y=cosx在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.4、正弦函数y=sinx当x=时取最大值1，当x=时取最小值-1。余弦函数
12、y=cosx当x=时取最大值1，当x=最取最小值-1。（以上）五、分层作业：A组：1、（课本P46习题1.4 A组 NO：2）2、（课本P46习题1.4 A组 NO：3）3、（课本P46习题1.4 A组 NO：4）4、（课本P46习题1.4 A组 NO：5（1）B组：1、（课本P46习题1.4 A组 NO：5（2）2、(tb0135302)函数y=Asin(wx+)+C中，A、w、C为常数，且A0，w0，则这个函数的最小值是（C）。（A）A+C （B）A-C （C）-A+C （D）-A-CC组：1、作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期（1）y=|sinx| (2)y=|cosx|2、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
