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1、关于数列极限的求法探讨摘 要:数列极限是高等数学中最重要的概念之一,本文主要探讨了数学分析中数列极限求解的几种思路和方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过程，给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路.关键词: 数列极限 单调有界 归结原则极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。纵观数学的发展，我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。它把初等数学扩展为一个新的阶段变量数学，整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。利用极限定义了函数的连续性、导数、积分等。同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。本文主要结合相关概念、定
2、理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解的相关的方法予以归纳总结.1.利用定义求数列极限定义 ：(点列 以 为极限的定义) 对于任意给定的 ，存在正整数nx0 0，当 时， ，则称点列 当 趋于无穷时以 为极限.记0Nnxx为 .（ 必须用公式编辑器中的符号）limnx用数学符号简记为： 00,Nnx 当例 1 用 语言证明 （ ).Nlimna1证明：设 ，由于 ,所以 .有二项式定理得a0221nn n因此 ，解此不等式得 .201nna21 取 ,当 时，有 ， 0,21NanN201nna这说明 .l
3、imn定义 ：(点列 不以 为极限的定义) 存在定数 对于任意 存12x0 0,0,k在 ，有knx.0k用数学符号简记为： 0 0,.kknnx，例 2 用 nlim1.nN语 言 证 明证明：取 0 2101,2, .nkx令 则 有注：用极限的定义时，只需要证明存在 ，故求解的关键在于不等式的建立.在N求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有 的因子移到不等式n的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需加入一些限制条件，限制条件必须和所求的 一致，最后结合在一起考虑.2.利用极限的运算性质求数列极限定理 ：若 存在，6limlinnxy和则 ;lili
4、mnnaxy;linbxy（ ）.lilimnncli0ny例 3 若 ， ，则求 .li1nxli2nylimnx解：根据数列极限的运算性质有lili13nnx3.利用两边夹定理求数列极限（两边夹定理） 若 满足6,nnxyz(1) nnyxz(2) limli1,2A则 .nx利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限，是一种常用的方法，这里我们将通过以下例题来加深对这一方法的体会，以期更熟练更灵活的运用它。例4 证明 （在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号）132lim04xnA 证明：由于两相异的算术平均值大于几何平均值，故分母中因子 132A3542A112nn由此可知： 30042
5、nA 故由两边夹定理，得 1limx A注：两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，而且放大和缩小的数列是容易求得相同的极限。基本思想是把要求解得极限转化为求放大或缩小的数列的极限。一般是将所有项换为最大项得到一个式子，然后所有项再换为最小项又得到一个式子，证明这两个式子的极限相同，最后得出原式的极限。4.利用上下极限求数列极限（上下极限定义） 设 为有界点列，令 ， ，则5nxsupnkaxinfkbx有， .（ 的字号121naa 121nbb na,大小不一致） 且 有界，于是 存在且 .我们称A，B分别为 ,nablim,linnaAbB的上下极限.记为 .x limnx
6、b我们知道，一个有界数列，未必存在极限，但它一定有上下极限。我们还知道，有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。据此，我们利用上下极限，必要时结合 语言，就可以处理一些数列的极限问题。N例5.设 试证：若 为有限数，则01,2.nx 1lim,nxllim.nxl证明：对 ，由 知 ，使当 时，,l1li,nlx0NkN有 1,.kxll对任何 将 时的各式相乘，并开n次方,nN,1,得 n NnNxlxl当 对上式右（左）边的不等式分别取上（下）极限，得 limlinnl又因为 的任意性，知imnxxl故 .linxl5.应用单调有界原理求数列极限(公理) 在实数系中，有界的单调数列必有
7、极限。2单调有界原理是证明单调数列收敛的基本方法之一。它与极限的四则运算法则相结合，有时还可以求出某些单调有界数列的极限。例6.设 定义 ,（此式子因为0a1sin(a1),02n）试求 .,.2),si(1n limn证明：令 则 （应为 ）,0,nb ， sb,1, nnbsi1利用归纳法可证 .nb 注意到当 时，恒有 .0xsinx故而推知 ，所以 .sinb,1,2 nnbbsi1这说明 为单调增加且有界的数列，故极限 存在。 lm记 ,再由正玄函数的连续性，有limnbl si,01,2n取极限得 .(应为 )由此可知必有 .silsinl即 .从而 .（应为 ）li0,nlnai
8、na注:利用单调准则证明极限存在，主要针对递推数列，必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性。解题的难点在于判断单调性，一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项。6.利用递推关系求数列极限在某些领域的极限问题中，如能求出数列中各项间的递推关系，往往可以比较地证明极限存在，并计算出极限。例7.设已给两数 及 ， ， 由递推公式ab0,xa1bnx21nx来决定，求 .limn解：若从题中所给的等式的两端各减去 ，则得1nx.112,34nnxx令 ，得 ，且 。yy10xba（ 序列 ， ） （删掉）121nnnnyxy对 的前n项求和，得10211 12nnnbabaxxx即 ，令 ，便有3
9、2nnabxalim3nabx7.利用柯西收敛准则证明数列极限（柯西收敛准则） 点列 存在极限的充要条件是对于任意给定的 ， 1nx 0存在 当 时，满足 .用书写符号简记为0,Nmmn当 .,Nx即： 正整数 ，使得当 时，有 ., ,nma例8.证明：数列 为收敛数列. 1sin(,23)nkx111si()si 12()222nmnmnmnx 取 ，当 时，有0NNnmx由柯西收敛准则，数列 收敛.nx8.利用有界变差数列收敛定理求证数列极限（有界变差数列收敛定理） 单调有界数列必定收敛3例 9.若数列 满足条件 nx121nnxxxM(,2)n则称 为有界变差数列，试证：有界变差数列一
10、定收敛证：令 ,有 单调递增.11210,nnnyxxxny由已知知 有界，故 收敛。从而 ，yy0,N使得当 时，有 .mNnm即 121nn mxxxx由柯西收敛准则，知数列 收敛n注：按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。有界变 差数列收敛定理的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，进而在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的去求极限。9.利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则 ： 对任何 ，有70limxfA0nxlimnnfxA例10.计算 21linn解：一方面， 21nne另一方面，2 21121nnn由归结原则（取 ）,3,nx2 211l
11、imlimnxnn xe 上一行应为 ennnnnn 11lilili 22212由迫敛性得 2line注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决。10利用施笃兹（stolz）定理求数列极限Stolz定理与LHosital 法则是数学分析处理 型 型极限的两个重要工0具。它们分别适用于变量和连续变量的情形。这里通过以下例子说明Stolz定理的应用。stolz定理1 ： （应为 ）型：若 是严格递增的正无穷大数列，它与5ny数列 一起满足 ，则有 .其中 为有限数，或 ，或nx1li
12、mnxlylimnxll.stolz定理2： 型：若 是严格递减的趋向于零的数列， 时 0ny n且 ，则有 .其中 为有限数，或 ，或 .nx1limnxlylimnxll例11.求极限 12lippn N解：令 则由定理1得1,.pppnnxy12limppnn=1limpn1lim12pnpnp分母应为 2)()(p注：Stolz定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达（LHospita）法则。11.巧用无穷小数列求数列极限引理 ：数列 收敛于 的充要条件是：数列 为无穷小数列8nxanxa注：上述引理说明，若
13、，则 可作“变量”替换：令 ，其limnxnxnnxa中 是一无穷小数列 .n定理1 ：若数列 为无穷小数列，则数列 也为无穷小数列，反之亦成n n立定理2 ：若数列 为无穷小数列，则数列 也为无穷小数n12n列推论1 ：设数列 为无穷小数列，则数列 也为无穷小n 12n数列例12.设 ，求极限 .limnxa12linnxx解：由 ，作“变量”代换，令 ，其中 是一无穷小数列.nnan由定理2的结论有 1212lilimnnn axx = .12 12limli 0n nn naa 注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法用这种方法求某类数列的极限是极为方便的。12.利用压缩映射原理求数列极限定义1：设 在 上有定义，方程 在 上的解称为 在fx,abfx,abfx上的不动点。,ab定义2：若存在一个常数 ，且 ，使得 有k01,xy，则称 是 上的一个压缩映射。fxfyxfx,ab压缩映射原理：设称 是 上的一个压缩映射且 ,f, 0xab,（应为 ，所有数学符号应用公式编辑器编辑。）对n+1nfx)(1nnx，有 ，则 在 上存在唯一的不动点 ，且 ，N,abf,abclimnxc,2例13.证明数列
