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1、第一章 勾股定理【知识点归纳】考点一:勾股定理(1)对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论:有一个角是30的直角三角形,30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证 例题:例1:已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边。(1)在RtABC中,C=90若a=5,b=12,则c=_;若a=15,c=25,则b=_;若c=61,b=60,则a=_;若ab=34,c=10则RtABC的面积是=_。(2)如果直角三角
2、形的两直角边长分别为,2n(n1),那么它的斜边长是() A、2nB、n+1C、n21D、(3)在RtABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A、25B、14C、7D、7或25例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_。(2)已知RtABC中,C=90,若a+b=14cm,c=10cm,则RtABC的面积是() A、24B、36 C、48D、60(3)已知x、y为正数,且x2-4+(y
3、2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )A、5B、25 C、7D、15 例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形,拼成如图所示的五边形,利用这个图形证明勾股定理。 考点二:勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。(2)常见的勾股数:(3n,4n,5n),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),(9n,40n,41n).(n为正整数)(3)直角三角形的判定方法:如果三角形的三边长a,b,c有关系
4、,那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。例题:例1:勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )A. 4,5,6 B. 2,3,4 C. 11,12,13 D. 8,15,17(2)若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为() A、234 B、346 C、51213 D、467例2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中:ABC中,C=AB;ABC中,A:B:C=1:2:3;ABC中,a:b:c=3:4:5;AB
5、C中,三边长分别为8,15,17其中是直角三角形的个数有( )A1个 B2个 C3个 D4个(2)若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形(3)已知a,b,c为ABC三边,且满足(a2b2)(a2+b2c2)0,则它的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形(5)若ABC的三边长a,b,c满足试判断ABC的形状。(6)ABC的两边分别为5,12
6、,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为 ,此三角形为 。例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度。(2)已知三角形三边的比为1:2,则其最小角为 。考点三:勾股定理的应用例题:例1:面积问题(1)下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是( )A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 (图1) (图2) (图3)(3)如图,ABC为直角三角形,分别以AB,BC,AC为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半圆的面积
7、关系,可得( )A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是(2)如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是( )A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1例2:求长度问题(1) 小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。(2)在一棵树10m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直
8、线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? 例3:最短路程问题(1)如图1,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线,若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是 。(结果保留根式) (图1)(2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒,一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为 。 (图2)例4:航海问题(1)一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距_海里(2)如图1,某货船以24海里时的速度将一批重要
9、物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险?试说明理由。 (图1) (图2)(3) 如图2,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?例5:网格问题(1)
10、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是( )A0 B1 C2 D3(2)如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,则ABC是 ( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对(3)如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 (图1) (图2) (图3)例6:图形问题(1)如图1,求该四边形的面积(2)(2010四川宜宾)如图2,已知,在ABC中,A= 45,AC= ,AB= +1,则边BC的长为 (图1) (图2)(3)某公司的大门如图所示,其
11、中四边形 是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3,=2,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. (4)将一根长24的筷子置于地面直径为5,高为12的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h,则h的取值范围 。【培优提高】1.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC6 cm、BC8 cm, 现将ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm ABCD2 如图所示,在RtABC中,C90,A30,BD是ABC的平分线,CD5,求AB的长33. 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:使三角形的三边长分别为3、(在图甲中画一个即可);使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可) 4下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( )A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5