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1、3-幂零矩阵的Jordan 标准型 摘要：本文主要对2-幂零矩阵，3-幂零矩阵的Jordan标准型进行探讨，对2-幂零矩阵，给出了2-幂零矩阵的Jordan标准型的形式，并指出若固定秩，则有唯一的Jordan标准型，对n阶3-幂零矩阵，文中推导出其秩的范围和其Jordan标准型的个数，并给予证明，若其秩为一固定值，文中推导出了它的Jordan标准型的个数，并给予证明。关键词：k-幂零矩阵征值；2-幂零矩阵；3-幂零矩阵；若当形矩阵；Jordan标准型；特征多项式；特征根；初等因子；秩0、引言定义1：设（表示复数域C上全体矩阵），若存在正整数k，使得，则称A是幂零指数为k的幂零矩阵记为k-幂零矩
2、阵特别地，当k=2时，即矩阵A满足，称A为2-幂零矩阵当k=3时，即矩阵A满足，称A为3-幂零矩阵。定义2：形式为的矩阵称为J块，其中是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。定义3：每个阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的Jordan标准型。目前关于幂零矩阵的Jordan标准型，仅有文1的关于2-幂零矩阵的研究探讨，有以下三个性质：性质1：当k=2即复数域C上的n阶2-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中（），且至少存在一个j，使即至少存在一个性质2：设C是复数域，而A是C上2-幂零矩阵，设A的秩为r，则
3、，而A的Jordan标准型为，其中对角线上有r个。性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。1、引理引理1.1：A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。 证明：可见文2引理1.2：设，则，而。引理1.3：复数域C上的k-幂零矩阵A的标准型具有形式，其中（），且至少存在一个若当块，使。证明：因为A为幂零矩阵，故A的特征值全为0，于是A的特征多项式为。设幂零矩阵的A的初等因子为可能相同，且），每一个初等因子对应一个J块（），这些J块构成一个若当形矩阵因为A为k-幂零矩阵，所以J中存在即至少存在一个j，使即命题成立。由引理1.3，易证得关于2-幂零矩阵的那三个性质是成立的2、主要结果及
4、证明由引理1.3我们知道n阶k-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其中（），且至少存在一个j，使当k=2，由推论3，任一个2-幂零矩阵，若它的秩确定，则它有唯一的一种Jordan标准型。那么对于k ，（k为大于2的正整数）任一个k-幂零矩阵,若它的秩固定，它是否也有唯一的Jordan标准型，若不唯一，它又含有多少种的Jordan标准型？下面我们对3-幂零矩阵进行探讨：设A为n 阶3-幂零矩阵，由引理1.3知A的Jordan标准型为，（），且，至少存在一个j，使 不妨设，则下面我们对讨论的值的情况（）及所对应的A的秩r(下面括号里的数表示秩的大小)n=3n=4n=5n=6n=7n=83=3(2)
5、4=3+1(2)5=3+1+1(2)6=3+1+1+1(2)7=3+1+1+1+1(2)8=3+1+1+1+1+1(2)5=3+2(3)6=3+2+1(3)7=3+2+1+1(3)8=3+2+1+1+1 (3)7=3+2+2(4)8=3+2+2+1(4)6=3+3(4)7=3+3+1(4)8=3+3+1+1(4)8=3+3+2(5)n=9n=10n=11(2)(2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(5)(5)(6)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(6)(6)(6)(6)(7)同理我们可以得出的情况将列表，得到阶数为n的3-幂零矩阵，当其秩为r时所含有的不同的Jordan标准型的个
6、数（空格表示0）2345678910111213141516171819202122232431415116111711281121911221101122211112231121122321131122332141122333115112233421161122334321711223344311811223344421191122334453220112233445431211122334455421221122334455532231122334455643124112233445565421251122334455665322611223344556664312711223344556
7、675421281122334455667653229112233445566776431301122334455667775421311122334455667786532321122334455667787643133112233445566778875421341122334455667788865323511223344556677889764313611223344556677889875421由上述表格，我们可以得出定理2.1：n阶3-幂零矩阵，它的秩 证明：利用引理1.3及秩的性质显然。定理2.2：设秩为r的n阶3-幂零矩阵的Jordan标准型共有种，其中则若e=1,2,3时，当
8、，则当，若为整数，即存在一个正整数b,使得a+b若不是整数，则为整数，因为所以即存在一个正整数b,使得=a+b则若（e=1,2,3）若当则,当则若 即若，当，则当 若，当，则当 若当，则当 若，若则,若当其中b表示正整数。证明：当时，1） 若讨论的值及秩r（表格中括号里的数表示秩的个数） 令即J（0，3）表示3阶Jordan块的值（2）（3）（4）（6c+1）即含1个的A的Jordan标准型为的各一个（4）（5）（6）（6c+1）含2个的A的Jordan标准型为的各一个（6）（7）（8）（6c+2）含3个的A的Jordan标准型为的各一个（4）（5）（6）（6c+1）含4个的A的Jordan标
9、准型为的各一个（4）（5）（6）（6c+1）含5个的A的Jordan标准型为的各一个同理可得含7个的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含8个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含9个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含10个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个不妨设可看到数列，当设至少存在x个J（0，3），则有，设至少存在y个J（0，3），则有，即含个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含个J（0，3）的A的Jordan标准型为的Jordan形矩阵各一个含个J（0，3）的A的Jordan标准型为的各一个含个
