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1、第三章 连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为 ，试以 表示下列概率：)(xF)(x（1） ；（2） ；（3） ；（4）)(aPaPaP)(aP解：（1） ；)(0(（2） ；)(F（3） =1- ；aP)(（4） 。01)(3.2 函数 是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果2xF（1） （2）0 ，在其它场合适当定义；（3）- ，在其它场合适当定义。0解：（1） 在（- ）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；)(x,（2） 在（0， ）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；F（3） 在（- 内单调上升、连续且 ，若定义)(x),)0,(F1)(xxF则 可以是某一随
2、机变量的分布函数。)(xF3.3 函数 是不是某个随机变数 的分布密度？如果 的取值范围为sin（1） ；（2） ；（3） 。,0,02,0解：（1）当 时， sinx且 =1，所以 可以是某个随机变量的,x0sinxdxsin分布密度；（2）因为 =2 ，所以 不是随机变量的分布密度；xd0si1si（3）当 时， ，所以 不是随机变量的分布密度。23,0nxxin3.4 设随机变数 具有对称的分布密度函数 ，即 证明：对任意的)(p),(xp有（1） 21)()(aF；,0aa0)(（2）P（ ；2a（3） 。)(1)(证：（1） aaF)(1= a)(= 0)(1x；aadp0021)(
3、（2） ，由（1）知axP)(1- aF0故上式右端=2 ；1)(F（3） 。)(12)(1)( aFaPa3.5 设 与 都是分布函数，又 是两个常数，且 。证明)(1x)2 0,b1b)()()(21xFx也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为 与 都是分布函数，当 时， ，)(1xF)(2 21)()211xF，于是(22 )()()()()( 2221211 xbxaFbxa又 0)()(lim)(li 21xx 1baxbaF)()()0()()0( 2121 xFFxx所以， 也是分布函数。)F取 ，又令2ba10)(01)(21 xxFx
4、F这时 102)(xx显然，与 对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故 不是离散型的，而)(xF )(xF不是连续函数，所以它也不是连续型的。)(x3.6 设随机变数 的分布函数为00)1()(xexF求相应的密度函数，并求 。P解： ，所以相应的密度函数为xxedx)1( 0)(xep。eFP21(3.7 设随机变数 的分布函数为10)(2xAx求常数 及密度函数。A解：因为 ，所以 ，密度函数为)1(0(F其 它012)(xxp3.8 随机变数 的分布函数为 ，求常数 与 及相应的密度函BarctgAAB数。解：因为 0)2()(limBAxFx 12)(limBAxFx所以 ,因而。)
5、1()(,12)( 2xFxparctgxF3.9 已知随机变数 的分布函数为其 它0212)(xxp（1） 求相应的分布函数 ；)(xF（2） 求 。)2.1.,3.1),5.0( PP解： 2112)2(0)(01 xxdyydxxxFx6.0)2().1)2.0( 4531(38)5.).( FP3.10 确定下列函数中的常数 ，使该函数成为一元分布的密度函数。A（1） ；xep)(（2） 其 它02cos)(x（3） 其 它031)(2xAxp解：（1） ；21220Adedexx 所 以 （2） ，所以 A= 21; 20coscosAxdxdA(3) ,所以 。169182963.
6、12 在半径为 R,球心为 O 的球内任取一点 P,求 的分布函数。oP解：当 0 时Rx33)(4)()RxxPF所以 RxxF10)(33.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以 表示每天的耗电率（即用电量除以一万度） ，它具有分布密度为 其 它01)1(2)(2xxp若该城市每天的供电量仅有 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量 90万度又是怎样呢？解： 18.027.)().(039.因此，若该城市每天的供电量为 80 万度，供电量不够需要的概率为 0.0272,若每天的供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率为 0.0037。3.14 设随机变数 服从（0，5
7、）上的均匀分布，求方程0242x有实根的概率。解：当且仅当)(16)(2（1）成立时，方程 有实根。不等式（1）的解为： 或 。042x 21因此，该方程有实根的概率。531)2()1()2( Pp3.17 某种电池的寿命 服从正态 分布，其中 （小时） ， （小时）,2aN0a(1) 求电池寿命在 250 小时以上的概率；（2）求 ，使寿命在 与 之间的概率不小于 0.9。xx解：（1） )43.150()2(P= ；92643.150（2） 350()( xxax= .1352()3即 9.0)(x所以 65.13即 7.x3.18 设 为 分布的分布函数，证明当 时，有)(x)1,0N0
8、)1(21)(.2322 xexexx 证： dydyxxx221)(1= eex22.= dyxx 243231)(1所以。)1(2)(1.2322 xexex3.21 证明：二元函数 0),(yxyF 对每个变元单调非降，左连续，且 ， ，但0),(),(xFy0),(是并不是一个分布函数。),(yxF证：（1）设 ，0若 ，由于 ，所以 ，0yx 1),(),(yxFyx若 ，则 。当 时， ；yx),(F00当 时， 。所以 。01yx ),(),(yxyx可见， 对 非降。同理， 对 非降。),(yx),(（2） 时= ，0),(lim),(li00 yxFyxFx ),(yxF时，
9、= ，1),(li),(li00 yxyx ),(yx所以 对 、 左连续。),yF（3） ， 。),(x0),(F（4） ，1)0,()2,(202 FP所以 不是一个分布函数。),(yxF3.23 设二维随机变数 的密度,其 它020,)sin(21),( yxyxyxp求 的分布函数。）（ ,解：当 ， 时，20xy),(),(PyF = dsttxy)in(210= yco= 所以),si(sixx 2,10)cosin(2 ,s 2)si(i1 )0()(0),( yxyxyxyxF3.24 设二维随机变数 的联合密度为),(其 它00,43yxkeyxpyx（1） 求常数 ；k（2
10、） 求相应的分布函数；（3） 求 。)2,10(P解：（1） ，12403043 kdxekdxyke所以 ；2（2） 时，,x)(1212)( 048030483 dsetdtseyFyxxyt = ，所以)(yx其 它0,),(43yxeyx（3） )2,1P= )0,(,()2, FF= 。183e325 设二维随机变数 有密度函数),()25)(16(),(2yxAyxp求常数 及 的密度函数。A),(解： 1205164)(,00222 AydxAxxyp所以， ；20A )25)(24(1620)25)(,),(2 yarctgxarctgsdtstpyFyxxy3.26 设二维随
11、机变数 的密度函数为),(其 它010, yxyxp求（1） 。)()4;()3;()2;14,20( PPP解： 21)()4 ;21)(2443;0)()2 ;6154),11010212104 P dxxydxydydxxyd3.28 设 的密度函数为, 其 它02,12),(yxyxp求 与 中至少有一个小于 的概率。21解： 8521),(1),(2 dxydxypPP3.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以 和 表示这两个组件的寿命（以小时计） ，设 的分布函数为),(其 它0 0,1),( )(01.01. yxeeyxFyyx求两个组件的寿命都超过 120 的概率。解：
12、09. )21()()1( )012,(0,2)(),(4. 4.2. e eeFFPP3.31 设 都是一维分布的密度函数，为使)(,21xp ),()(),(21yxhpxyp成为一个二维分布的密度函数，问其中的 必需且只需满足什么条件？,解：若 为二维分布的密度函数，则),(yxp1),(,0),(dxypyxp所以条件 得到满足。02;),(11hyxh反之，若条件（1） ， （2）满足，则 1),(,0),(dxypyxp为二维分布的密度函数。),(yxp因此，为使 成为二维分布的密度函数， 必需且只需满足条件（1）和),(yx ),(yxh（2） 。3.32 设二维随机变数 具有下
13、列密度函数，求边际分布。),(（1） 其 它01,2),(31yxeyxpy（2） 其 它或 0,0,1),()(2 yxyxeyxyx（3） 其 它0)()(),( 11212yxexykyxpyk解：（1） )1(,0)1(,)(313 xpxdyxe)(,)(,2)(113 ypyy （2） 时，0x2)(21)( xyxede时，x2)(2101)( xyxeep所以， 。同理， 。2)(xx 2)(yyp（3） )0(,)(1)()() 121 22 xekdexkpyk0,x)0(,)0(,)(1)( 121121 22 yp ykdxyke kkky3.34 证明：若随机变数 只取一个值 ，则 与任意的随机变数 独立。a证： 的分布函数为axF10)(设 的分布函数、 的联合分布函数分别为 。),( ),(yxF当 时， 。当 时，ax0),(yxPyxFa。所以，对任意实数 ，都有(),(),(PyF yx,，故 与 相互独立。yx3.35 证明：若随机变数 与自己独立，则必有常数 ，使 。c1)(cP证：由于 ，所以 ，)(),()( xPxPx2)(
