《2020高考数学理科大一轮复习导学案《数列的概念与简单表示法》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学理科大一轮复习导学案《数列的概念与简单表示法》（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章数列知识点一数列的定义、分类与通项公式 1数列的定义(1)数列：按照一定顺序排列的一列数(2)数列的项：数列中的每一个数2数列的分类3.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)一个数列中的数是不可以重复的()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()解析：(1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列(2)数列中的数是可以重复的(3)不是所有的数列都有通项公式2已
2、知数列，下列各数中是此数列中的项的是(B)A. B.C. D.3(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an5n4.解析：由a11514，a26524，a311534，归纳an5n4.知识点二数列的递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式4(必修5P31例3改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a4(B)A. B.C. D.解析：由题意知，a11，a22，a3，a4.5已知数列an满
3、足a11，an1a2an1(nN*)，则a2 0180.解析：a11，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的数列，a2 018a20.知识点三数列的前n项和与通项的关系 数列的前n项和通常用Sn表示，记作Sna1a2an，则通项an.若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示6设数列an的前n项和Snn2，则a7a8的值为28.解析：a7a8S8S6826228.7若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an(2)n1.解析：当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.当n
4、1时，也符合an(2)n1.综上，an(2)n1.1数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性2若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an3三种必会方法(1)叠加法：对于an1anf(n)型，若f(1)f(2)f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.(2)叠乘法：对于f(n)型，若f(1)f(2)f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.(3)构造法：对an1panq型，构造等比数列，求得an.4在数列an中，若an最大，则若an最小，则考向一归纳数列的通项公式 【例1】(1)数列1，4,9，16,25，的一个通项公式是()Aa
5、nn2 Ban(1)nn2Can(1)n1n2 Dan(1)n(n1)2(2)(2019山西太原五中调考)把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第7个三角形数是()A27 B28C29 D30【解析】(1)解法1：该数列中第n项的绝对值是n2，正负交替的符号是(1)n1，故选C.解法2：将n2代入各选项，排除A，B，D，故选C.(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即anan1n(n2)所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a7a67a567156728.故选B.【答案】(1)C(2
6、)B由数列的前几项归纳数列通项公式的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(1)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(C)Aan(1)n11 BanCan2sin Dancos(n1)1(2)(2019郑州模拟)意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(
7、n3，nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列bn，则b2 0181.解析：(1)对n1,2,3,4进行验证，an2sin不合题意(2)由题意得，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，.此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，构成以8为周期的周期数列，所以b2 018b21.考向二由Sn与an的关系求an，Sn 【例2】(1)设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)(nN*)，则an()A2n B2n1C2n D
8、2n1(2)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.【解析】(1)当n1时，a1S12(a11)，可得a12，当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，数列an为首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n.(2)an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.【答案】(1)C(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含
9、an，an1的关系式，再求解(1)已知数列an的前n项和Sn2an1，则满足2的正整数n的集合为(B)A1,2 B1,2,3,4C1,2,3 D1,2,4(2)(2019西安八校联考)数列an中，Sn为数列an的前n项和，且a11，an(n2)，则Sn.解析：(1)因为Sn2an1，所以当n2时，Sn12an11，两式相减得an2an2an1，整理得an2an1，所以数列an是公比为2的等比数列又因为a12a11，解得a11，所以数列an的通项公式为an2n1.因为2，即2n12n，所以所有满足的正整数n的值为1,2,3,4.故选B.(2)当n2时，将anSnSn1代入an，得SnSn1，化简
10、整理，得SnSn12Sn1Sn，两边同除以Sn1Sn，得2(n2)，又1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(n1)2n1，所以Sn.考向三 由递推关系求通项公式 【例3】设数列an中，a12，an1ann1，则an_.【解析】由条件知an1ann1，则an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.【答案】1若将“an1ann1”改为“an1an”，如何求解？解：an1an，.ana1，2.2若将“an1ann1”改为“an12an3”，如何求解？解：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an
11、3)令bnan3，则b1a135，且2.所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列所以bn52n1，故an52n13.3若将“an1ann1”改为“an1”，如何求解？解：an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列(n1).an.4若将本例条件换为“a11，an1an2n”，如何求解？解：an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann.综上所述，ann1，nN*.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an
12、an1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解(5)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可考向四 数列的函数性质 方向1数列的单调性【例4】(1)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an1.若对任意正整数n都有Sn1Sn0恒成立，则实数的取值范围为()A(，1) B.C. D.(2)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_【解析】(1)当n1时，a12a11a11.当n2时，anSnSn12an2an12数列an是等比数列，Sn2n1(2n11)(2n1)01.最小值为，0)，求导得f(x)1.令f(x)0，解得x
