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1、复习题简答:第一章1、 设A、B、C表示三个随机事件,试将下列事件用A、B、C表示出来:(1)B,C都发生,而A不发生;(2)A,B,C中至少有一个发生;(3)A,B,C中恰有一个发生;(4)A,B,C中恰有两个发生;(5)A,B,C中不多于一个发生;(6)A,B,C中不多于两个发生。解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、 把1,2,3,4,5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。问:(1) 所得三位数是偶数的概率是多少?(2) 所得三位数不小于200的概率是多少?解:(1) (2) 3、 甲乙丙三人去住三间房子。求:(1) 每间恰有一个的概率;(2) 空一间的概率。解:
2、(1)(2) 4、 设8支枪中有3支未经试射校正,5支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时,中靶概率为0.8,而用未校正过的枪射击时,中靶概率为0.3. 今假定从8支枪中任取一支进行射击,求:(1) 中靶的概率;(2) 若已知中靶,求所用这支枪是已校正过的概率。解: A:中靶。B:已知中靶,所用这支枪是已校正过的。5、 设有甲乙两盒,其中甲盒内有2只白球1只黑球,乙盒内有1只白球5只黑球。求从甲盒任取一球投入乙盒内,然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。解: A:从乙盒取出一球得白球。B:从甲盒中任取一白球放入乙盒。6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,
3、35%,20%。如果各车间的次品率依次为4%,2%,5%。现在待出厂产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率。解: A:任取一个产品是次品。B:产品由甲车间生产。7、 对某种药物的疗效进行研究,假定这药物对某种疾病治愈率为0.8,现10个患此病的病人都服用此药,求其中至少有6人治愈的概率。解:X:治愈的人数, 第二章8、 某产品5件,其中有2件次品。现从其中任取2件,求取出的2件产品中的次品数X的概率分布律及分布函数。解:次品数X可能的取值为0,1,2分布律为: 分布函数为: 9、 设连续型随机变量X的分布函数为,试确常数A,B,并求,及概率密度。解:由F(x)的性质,得A=1, B
4、= -1 ,所以 10、已知连续型随机变量X有概率密度,求:(1)系数k;(2)分布函数F(x);(3) P1.5X2.5。解:由f(x)的性质,得k= -1/2.11、某元件寿命(按小时计)X服从参数为的指数分布,三个这样的元件使用1000小时后,都没有损坏的概率是多少?解:Y:损坏的个数,12、设,计算:(1)PX2。解:13、设随机变量X在(-1,1)上服从均匀分布,求的概率密度。解:的概率密度为14、设的分布律为X-2-1/2024p1/81/41/81/61/3求(1), (2),(3)的分布律。X+203/2246p1/81/41/81/61/3-X+103/21-1-3p1/81
5、/41/81/61/341/4016p7/241/41/81/3第三章15、一整数X随机地在1,2,3,4四个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1到X中取一个值,试求(X,Y)的分布律。解: 16、设(X,Y)的概率密度为,试求:(1)系数C;(2)(X,Y)落在D:确定的区域内的概率。解: 根据解出17、设(X,Y)的概率分布律为X Y11.21.40.811/51/5001.51/51.31/51.21/5求(1)(X,Y)的边缘分布律;(2)PXY。解:X11.51.31.2p2/51/51/51/5Y11.21.40.8p2/51/51/51/5(2)PXY=3/518、设二维连续型
6、随机变量(X,Y)的概率密度为求(X,Y)的边缘概率密度,并判断X,Y是否相互独立。解: X,Y不相互独立19、若X,Y独立且都服从同一概率密度,求(1)(X,Y)的联合概率密度;(2)P0X2。解: (X,Y)的联合概率密度函数为第四章20、一个有n把钥匙的人要开他的门,他随机而又独立地用钥匙试开。如果除去试开不成功的钥匙,求试开次数的数学期望。解:设X为试开次数,则X的可能取值为1,2,n,且 P(X=k)=1/n,k=1,2,,n 21、对球的直径作近似测量,设其值均匀地分布在区间内,求球体积的均值。解: 22、设X为随机变量,试证:。证明:23、设(X,Y)服从上的均匀分布,试求X,Y
7、的相关系数,并说明X与Y是否不相关。解: 不是不相关。24、对于随机变量X,Y,Z,已知求(1);(2)。解: 25、在n重贝努里试验中,若每次试验A出现的概率为0.75,试利用切比雪夫不等式求出n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.9。解: 事件A出现的次数 第五章26、已知一批产品(批量很大)的次品率,现从这批产品中随机地抽取1000件进行检查,求次品数在90至110之间的概率。解: 次品数27、设某电话交换台每秒种平均被呼叫2次(电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布),试求在100秒钟内被呼叫次数在180至220次之间的概率。解: 第i秒呼叫次数,100秒内呼叫次数为
8、X,则 第六章28、设来自总体的简单随机样本,已知,试求。解: 29、设来自总体为标准正态分布的简单随机样本,试确定常数,使得服从分布。解: 所以,30、设有N个产品,其中有M个次品,进行放回抽样。定义如下,求样本的联合分布律。解: 总体X的分布律为: ,则样本的联合分布律为31、设一批灯泡的寿命X服从参数为的指数分布,求来自总体样本的联合概率密度。解: 总体的概率密度: 则样本的联合分布律为32、在总体中抽取容量为的样本,如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95,则至少为多少?解: 33、设是来自正态分布的一个样本,分别是样本均值和样本方差。求使得。解: 第七章34、设总
9、体分布律为,求的极大似然估计。解: 似然函数:两边取对数,两边求导数,并令其为0, 解出的极大似然估计量为35、设总体密度函数函数为求的矩估计。解: 用替代,得为矩估计量。36、设是取自某总体的容量为3的样本,试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计,在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差?(1);(2);(3)。解: 验证无偏估计略。第三个估计的有效性最差。37、设是来自正态总体的一个样本,对考虑如下三个估计,哪一个是的无偏估计?解: 第一个是的无偏估计。38、包糖某日开工包糖,抽取12包糖,称得重量(单位:0.05Kg)为:10.1,10.3,10.4,10.5,10.2,9.7,9.8,1
10、0.1,10.0,9.9,9.8,10.3假定重量服从正态分布,试由此数据对该机器所包糖的平均重量及方差,求置信水平为95%的置信区间。解: , 平均重量置信水平为95%的置信区间为方差置信水平为95%的置信区间为,39、随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:cm):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11,设钉长的分布为正态分布,分别对下列两种情况求出总体均值的90%置信度的置信区间。(1)已知;(2)未知。解: 已知未知40、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布,
11、现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484,如果铁水含碳量的方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55()?解:设原假设,检验统计量 拒绝域 , 因为,故接受.可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55().41、设在木材中抽出100根,测其小头直径,得到样本平均数为,样本标准差,问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm()?解:设原假设,检验统计量 拒绝域 , 因为,接受,不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm()?42、某电工器材厂生产一种保险丝,测量其熔化时间,依通常情况方差为400,今从某天产品中抽取容量为25的样本,测量其熔化时间并计算得,问这天保险熔化时间分散度与通常有无显著差异(取)?解: 设原假设,检验统计量 拒绝域 , 故接受,可以认为这天保险熔化时间分散度与通常没有显著差异