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1、- 39 - 第一章 概率论的基本概念一、选择题1答案：（B）2. 答案：（B）解：AUB表示A与B至少有一个发生,-AB表示A与B不能同时发生,因此(AUB)(-AB)表示A与B恰有一个发生 3答案：（C）4. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容.5. 答案：（C） 注:C成立的条件:A与B互不相容,即.6. 答案：（D） 注:由C得出A+B=.7. 答案：（C）8. 答案：（D） 注：选项B由于9.答案：（C） 注：古典概型中事件A发生的概率为.10.答案：（A）解：用A来表示事件“此个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件“此个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知，
2、故.11.答案：（C）12.答案：（B）解：“事件A与B同时发生时,事件C也随之发生”，说明，故；而故.13.答案：（D）解：由可知故A与B独立.14.答案：（A）解：由于事件A,B是互不相容的，故，因此P(A|B)=.15.答案：（D）解：用A表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A的对立事件“密码最终没能被译出”，事件只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故.16.答案：（B）解：所求的概率为注：.17.答案
3、：（A）解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”，则由全概率公式知.18.答案：（C）解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i类箱子”，则由全概率公式知.19.答案：（C）解：即求条件概率.由Bayes公式知.二、填空题1.（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）2.或30.3，0.5解：若A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），于是P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3；若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B），于是由P（A+B）=P（A）+P（B）-P
4、（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得.4.0.7解：由题设P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以.6.0.6解：由题设P（A）=0.7，P（）=0.3，利用公式知=0.7-0.3=0.4，故.7.7/12解：因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是.8.1/4解：因为由题设，因此有，解得P（A）=3/4或P（A）=1/4，又题设P（A）1/2,故P（A）=1/4.9.1/6解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均
5、为1/6，另外，用全概率公式也可求解.10.解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为，故所求的概率为.11.3/7解：设事件A=抽取的产品为工厂A生产的，B=抽取的产品为工厂B生产的，C=抽取的是次品，则P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有贝叶斯公式知.12.6/11解：设A=甲射击，B=乙射击，C=目标被击中，则P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，故.四、 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得第二章 随机变量及其分布一、选择题1.答案：（B）
6、注：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，但事件X=a未必是不可能事件.2.答案：（B）解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此.3.答案：（D）解：由于X服从上的均匀分布,故随机变量X的概率密度为.因此，若点，则.，.4 答案：（C）解：由于故由于而，故只有当时，才有；正态分布中的参数只要求，对没有要求.5.答案：（A）解：由于，故，而，故；由于，故.6.答案：（B）解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为.7.答案：（D）注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页.8.答案：（C）解：因为，所
7、以，.9.答案：（B）解：由于，所以的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y轴对称，因此随机变量落在x轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，从而马上可以得出.我们可以画出函数的图形，借助图形来选出答案B.也可以直接推导如下：，令，则有10.答案：（A）解：.11.答案：（B）解：.12.答案：（D）解：对任意的；选项C描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数.13.答案：（A）解：选项A改为，才是正确的；.14.答案：（B）解：由于随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,所以X的概率密度函数为.而方程有实根，当且仅当，因此方程有实根的概率为.二、填空题1.2.
8、解：由规范性知.3.解：由规范性知.4.解：因为，所以只有在F（X）的不连续点（x=-1,1,2）上PX=x不为0,且P（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，PX=1=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，PX=2=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=PX=2=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.5.解：由于，所以X的概率密度为，故.6.；7.解：.8.解:由.90解：故.第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.答案：（A）解：要使是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用这
9、一性质可以得到，只有选型A满足条件.2.答案：（A）解：由可知，故又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：故.3.答案：（D）解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X与Y是相互独立的，则由X与Y的边缘分布可以唯一确定X与Y的联合分布.4.答案：（A）解：由问题的实际意义可知，随机事件与相互独立，故；，而事件又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即故.5.答案：（B）解：当时，且X和Y相互独立的充要条件是；单由关于S和关于T的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S和T的联合分布的.6.答案：（C）解：（方法1）首先证明一个结论，若，则.证明过程如
10、下（这里采用分布函数法来求的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于故这表明也服从正态分布，且.所以这里.再利用结论：若与相互独立，且，则.便可得出；;.（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若，则故；;.7.答案：（A）解：由于，所以，故，而，所以.8.答案：（D）解：由联合概率密度函数的规范性知.9.答案：（A）解：.10.答案：（）解：由联合概率密度函数的规范性知12.答案：（C）解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G表示矩形域，则所求的概率为.13.答案：（B）解：利用结论
11、：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若，则因此；.令，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z的概率密度函数为，故.二、填空题1.F（b,c）-F(a,c);F(a,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b).2.3.解：，故.4.05.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）
12、=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、设随机变量（X，Y）概率密度为（1）确定常数k。（2）求P X1, Y3（3）求P (X1.5（4）求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化为累次积分，其中解：（1），（2）（3）（4）四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。解: l= 第四章 随机变量的数字特征一、选择题1答案：（D）解：由于，所以，
13、故. 2.答案：（D）解： 3.答案：（D）解：，故；，故；，故；，但不能说明X与Y独立. 4.答案：（C）解：由于X,Y独立，所以2X与3Y也独立，故. 5.答案：（C）解：当X,Y独立时，；而当X,Y独立时，故；. 6.答案：（C）解：，当X,Y独立时，可以得到而，即X,Y不相关，但不能得出X,Y独立；，故；，故. 7.答案：（D）解：，即X,Y不相关. 8.答案：（A）解：，即X,Y不相关. 9.答案：（C）解：成立的前提条件是X,Y相互独立；当X,Y相互独立时，有，即成立的充分条件是X,Y相互独立；而即X,Y不相关，所以成立的充要条件是X,Y不相关；. 10.答案：（D）解：由；.11
14、.答案：（B）解：由；是一个确定的常数，所以.12.答案：（D）解：13.答案：（B）解：，故.14.答案：（C）解：.15.答案：（B）解：由于当时，故这里.16.答案：（A）解：由于，所以，又因为，所以，而与的独立性未知，所以的值无法计算，故的值未知.17.答案：（C）解：由于(X,Y)服从区域上的均匀分布，所以(X,Y)的概率密度为，则.18.答案：（D）解：令，则有，但不一定有.19.答案：（A）解：由题意知，故Y服从参数为3和1/4的二项分布，即，因此.20.答案：（D）解：，只有当X与Y独立时，才有.二、填空题1.解：由题设=，故.2.解：假设P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,则a+b+c=1,-a+0+c=,a+c=,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.3. ,;
