《高中数学人教A版选修4-1课件：3-1平行射影》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修4-1课件：3-1平行射影（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 平行射影,1.正射影 (1)点的正射影:给定一个平面,从一点A作平面的垂线,垂足为点A,称点A为点A在平面上的正射影. (2)图形的正射影:一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面上的正射影. (3)圆面的正射影: 如果一个圆所在的平面与平面平行,那么这个圆在平面上的正射影是一个圆; 如果一个圆所在的平面与平面垂直,那么这个圆在平面上的正射影是一条线段; 如果一个圆所在的平面与平面既不平行也不垂直,那么这个圆在平面上的正射影是一个椭圆.,名师点拨一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关,如一条直线,当它和平面垂直时,它在平面上的射影是一个点;当它和平面斜交时
2、,它在平面上的射影是一条直线;当它和平面平行时,它在平面上的射影是一条与原直线平行的直线.,【做一做1】 两条平行直线在平面内的正射影可能是 . 两条平行直线;两条相交直线;一条直线;两个点; 一条直线和一个点. 解析:设这两条平行直线所确定的平面为,则当与垂直时,射影是一条直线或两个点;当与平行或斜交时,射影是两条平行直线.两条平行直线在平面内的正射影不可能是两条相交直线,也不可能是一条直线和一个点. 答案:,2.平行射影 (1)设直线l与平面相交(如图),称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A,称点A为A沿l的方向在平面上的平行射影.一个图形上各点在平面
3、上的平行射影所组成的图形,叫做这个图形的平行射影. (2)正射影是平行射影的特例.,名师点拨平行射影与正射影的区别与联系 正射影与平行射影的投影线与投影方向都是平行的.因此,正射影也是平行射影.不同的是正射影的投影线与投影面垂直,而平行射影的投影线与投影面斜交或垂直.当平面图形所在的平面与投影面平行时,其正射影图形与原图形面积大小相等,而平行射影图形的面积一般要小于原平面图形的面积.,【做一做2】 下列说法正确的是( ) A.正射影和平行射影是两种截然不同的射影 B.投影线与投影平面有且只有一个交点 C.投影方向可以平行于投影平面 D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的 解析:正射影是平行射
4、影的特例,本质是相同的,故A错误; 过平面外一点与平面相交的直线与平面只有一个交点,投影线就是这样的直线,B正确; 投影方向与平面只能相交,故C错误; 一个图形在一个平面的射影与投影方向有关,方向改变了,就得出另外的射影,故D错误. 答案:B,3.椭圆 (1)椭圆定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆. (2)椭圆与圆柱截面的关系:用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱两底面平行时,截面是圆;当平面与圆柱两底面不平行时,截面是椭圆. 【做一做3】 用与圆柱的轴成锐角的平面截圆柱所得的截面图形是 . 解析:由题意知平面与圆柱的底面不平行,所以截面图形是一个椭圆. 答案:椭圆,思
5、考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)直线或线段的正射影有可能是一个点. ( ) (2)平行直线的平行射影一定是平行直线. ( ) (3)矩形的平行射影不可能是平行四边形. ( ) (4)与投射面垂直的平面图形,其平行射影与原图形全等. ( ) (5)一个平面截圆柱,截面可能是椭圆. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,对正射影与平行射影的理解 【例1】 若线段AB,CD在同一平面内的正射影相等,则线段AB,CD的长度关系为( ) A.ABCD B.ABCD C.AB=CD D.无法确定 解析:由于
6、线段AB,CD与平面所成的角未定,虽然射影相等,但线段AB,CD的长度没有确定,因此它们的长度关系也无法确定. 答案:D 反思感悟由图形的正射影推断原图形的性质时,一方面要结合正射影的定义和性质分析,另一方面,要注意综合分析各种情况,注意分类讨论,才能得出正确的结论.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,变式训练1直角AOB在平面内的正射影可以是:一条射线;一条直线;直角;钝角;直角三角形.其中说法正确的序号是 . 解析:设直角AOB所在平面为,则当时,AOB在平面内的正射影是一条射线或一条直线;当时,正射影与原图形全等,因此,此时AOB的正射影为直角;当与的夹角变化时,AOB的正射影可以是锐
7、角、直角或钝角,但构不成直角三角形,故正确的序号是. 答案:,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,正射影与平行射影的应用 【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的( ),探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,解析:要确定阴影部分在平面ADD1A1上的正射影,则投影光线即与面ADD1A1垂直,显然点D的正射影为点D,点N的正射影为边AD的中点,点M的正射影为边A1A的中点,故选A. 答案:A 反思感悟已知实物模型找其正射影,可先根据投影面确定投影光线,再找到关键点的正射影.,探究一,探究二,思维辨析
8、,当堂检测,变式训练2如图,RtABC的斜边BC在平面内,顶点A在平面上的正射影A不在BC边所在直线上时,试判断ABC在平面上的正射影是何种三角形. 解:AA,AAAB,AAAC,因此AB90. ABC是钝角三角形, 即ABC在平面上的正射影是钝角三角形.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,对平行射影理解不清致误 【典例】 有下列4个命题:矩形的平行射影一定是矩形;矩形的正射影一定是矩形;梯形的平行射影一定是梯形;梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.3 D.4 错解:B或C或D. 正解:矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段,因而一定是矩形不成立;矩
9、形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况,因而矩形的正射影一定是矩形不正确;梯形的平行射影可以是梯形、线段,因而梯形的平行射影一定是梯形不正确;梯形的正射影也可能是梯形、线段,因而说梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的,故选A.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,纠错心得判断平面图形的平行射影或正射影的形状时,一方面要考虑平面图形所在平面与投射面的位置关系,另一方面,还要考虑投影线的方向,否则就可能得出错误的、不全面的结论,本题错解:正是由于对正射影与平行射影的理解不清而导致.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,变式训练一个正方形利用平行投影后得到的图形是( ) A.正方形 B.正方形
10、或矩形 C.正方形或矩形或线段 D.以上都不对 解析:正方形与投影面的位置关系不同时,得到的图形不同. 答案:D,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,1.ABC在平面上的正射影是( ) A.三角形 B.直线 C.线段 D.三角形或线段 解析:当ABC所在平面垂直于时,ABC在上的正射影是一条线段,否则是三角形. 答案:D 2.圆的正射影不可能是( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段 解析:当圆所在平面与射影平面平行时,正射影是圆,不平行时是椭圆,垂直时是线段,故不可能是抛物线. 答案:C,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,3.已知平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到A,B的距离之
11、和为常数m.若动点P的轨迹是椭圆,则m的取值范围是( ) A.(0,5) B.(5,+) C.(0,+) D.R 解析:当m5时,轨迹是椭圆. 答案:B 4.在梯形ABCD中,ABCD.若梯形不在内,则它在上的射影是 . 解析:若梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在上的射影是一条线段;若梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,则平行线的射影仍是平行线,不平行的线的射影仍不平行,则梯形ABCD在平面上的射影仍是梯形. 答案:一条线段或一个梯形,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,5.如图,已知DA平面ABC,ABC是斜三角形,点A是点A在平面BCD上的正射影.求证:点A不可能是BCD的垂心. 证明:假设点A是BCD的垂心,则ABCD. 因为AA平面BCD于点A,所以ABCD.又因为DA平面ABC,所以ABAC,这与ABC是斜三角形的条件矛盾,故点A不可能是BCD的垂心.,
