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1、 12机械2班 徐云 20120310010215 机械振动学总结 第一章一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为式中：A为振幅，T为周期，和称为初相角。如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物体运动前加速度是最早出现的量。可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振动的重要特征。在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6旋转矢量的模
2、为振幅A，角速度为角频率若用复数来表示，则有用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数对时间求导一次相当于在其前乘以，而每乘一次j，相当于有初相角。2 周期振动满足以下条件：1) 函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2) 在一个周期内，只有有限个极大和极小值。则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有式中 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1. 俩个同频率的简谐振动 ，它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若，则合成运动为若 ，对于 ,则有上式可表示为二、 两垂直方向振动的合成1. 同频率振动的
3、合成如果沿x方向的运动为沿y方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。四 自由度 物体在受约束条件下运动时，用于其确定位置所需的独立坐标数就是该系统的自由数度数。一个质点在空间做自由运动，决定其位置需要三个独立的坐标，故其自由度为3，而由n个相对位置可变的质点组成的质点系，其自由度为3n，刚体运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿直角坐标x，y和z的3个转角，所以其自由度为6，弹性体，塑性体和流体等变形连续体由于由无数个质点组成，故其自由度数为无限个。在振动分析中，往往把连续体这种分布系统用有限多个离散的集中参数来代替，做近似
4、的描述。系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束条件数之差。对于n个质点组成的质点系，个质点的位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件时，约束方程为为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。第二章一 线性系统 状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。 叠加原理是指:如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t)和(x2(t),y2(t), 则当输入和初始状态为(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2
5、x02)时，系统的状态和输出必为(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t),其中x表示状态,y表示输出，u表示输入，C1和C2为任意实数。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。二 无阻尼自由振
6、动单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程令，系统的运动方程可表示为函数x(t)必须具有这样的性质：在微分过程中不改变其形式。因而假定方程的解为的形式是合理的。式中B和是待定常数，代入方程中方程决定于方程叫做系统的特征方程或频率方程，它有一对共轭虚根：，叫做系统的特征值或固有值，方程的俩个独立的特接分别为式中和是任意常数。方程的通解为方程的通解从物理意义上说，表达了系统对于确定的初始条件，系统发生某种确定的运动为它是由俩个相同频率的简谐运动所组成。再将这俩个相同频率的简谐运动合成为式中A为振幅，为初相角。线性系统自由振动振幅的大小只决定于施加给系统的初始条件和系统本身的固有频率，而与其他因素无关。
7、线性系统自由振动的频率只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率，或无阻尼固有频率。三， 能 量 法一个无阻尼的弹簧系统做自由振动时，由于不存在阻尼，没有能量从系统中散逸，没有能量输入，系统机械能守恒。T+U=E=常数最大动能和最大势能为 由于，并定义，故可得。四 有阻尼自由振动 在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小，这种自由振动叫做有阻尼自由振动。 最常见的阻尼有粘性阻尼、库伦阻尼或干摩擦阻尼和结构阻尼。1、 粘性阻尼的一个粘性阻尼器，直径为d，长为L的活塞，带有俩个直径为D的小孔，油的粘度为，密度为。
8、 作用于活塞上阻力的大小近似地表示为这表明，粘性阻尼器的阻尼力与速度成正比，方向和速度相反。这是，阻尼系数为2、 粘性阻尼自由振动具有粘性阻尼的单自由度系统的理论模型，粘性阻尼力与相对速度成正比，应用牛顿定律，可列出系统的运动方程其中无阻尼固有频率和阻尼比分别是动力学方程：系统的特征方程或频率方程方程的特征值的表达式可写成当1，这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为俩个实数，即3、 结构阻尼内摩擦所消耗的能量等于滞回环所围面积其中k是等效弹簧常数，A是振幅，等效粘性阻尼系数是其中是无量纲的结构阻尼常数五 强迫振动1、 简谐激励力作用下的强迫振动单自由度系统在简谐激励力作用下的强迫振动
9、的理论模型系统的运动方程为式中F为激励力振幅，w为激励频率。方程是一个非齐次方程，在一般情况下，还受到初始条的作用，实部和虚部分别与和相对应受力分析振动微分方程为X为复数变量，分别与和相对应，对于此方程的通解等于齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，即暂态响应和稳态响应假定方程的特解为式中为复振幅，代入方程中，有式中X为振幅，是复振幅的模，继而得到方程的相角，是复振幅的幅角，有因此，方程的特解为对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为因此，对于弱阻尼系统，方程的通解为定义强迫振动的振幅X与Xo的比为放大因子，用M表示，则有式中Xo=F/k,r=w/,Xo叫做等效静位移，r叫做频率比。（类似）当r
10、0是，M1，而与阻尼无关，这意味着，当激励频率接近于零时，振幅与静位移相近。当r时，M0，也与阻尼大小无关，在激励频率很高时，振幅趋于零，质量不能跟上力的快速变化，将停留在平衡位置不动。当r=1时，=0，在理论上M,将产生共振现象。强迫振动和激励力之间有相位差，方程可改写成下图便是以为参数，相角随r，即w变化的曲线六 旋转不平衡质量在许多旋转机械中，转动部分总存在着质量不平衡，所以构建了如下图的系统列出系统的运动方程为系统的放大因子可表示为其关系曲线表示在图上七，基础运动 八 隔振用来消除对机器、仪器和设备的工作性能产生有害影响振动的措施叫做隔振，隔振分为俩种，积极隔振和消极隔振。积极隔振：把
11、震源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的措施叫做积极隔振。消极隔振：为了减少外界震动对设备的影响而采取的隔振措施叫做消极隔振。九 振动测试仪器1、位移传感器2、 加速度传感器3、 速度传感器十 非简谐激励作用下的系统响应1、 奏起激励作用下的强迫振动对于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响应的计算为：系统的稳态响应为2、 非周期激励作用下的系统响应当系统受到单位脉冲的激励作用下的系统响应为第三章 一 无阻尼自由振动 位移方程1，固有模态振动凡需要用俩个独立坐标来描述其运动的系统都是两自由度系统。由图建立坐标，坐标和是俩个独立的坐标，它们完全描述了系统在任何时刻的运动。根据牛顿定律得常
12、数矩阵和分别叫做质量矩阵和刚度矩阵。2，位移方程 柔度影响系数定义弹簧常数为k的弹簧的柔度系数为d=1/k则对于前面讨论的系统的运动方程表示为或其中叫做柔度矩阵，其元，叫做柔度影响系统，定义为 即，值在j点作用已单位力时，在i点引起的位移的大小。利用柔度影响系数的定义，就可以确定系统的柔度矩阵。对于系统的刚度矩阵，其元素，也叫做刚度影响系数，定义为 它表明只在j点产生一单位位移时，在i点需要施加的力的大小。利用这一定义可以确定系统的刚度矩阵。对于有阻尼系统，阻尼矩阵的元素阻尼影响系数也可按其定义以类似的方法确定。改写为因而有 与位移方程相比较，得系统的柔度矩阵是系统刚度矩阵的逆矩阵，但系统的刚
13、度必须是非奇异的。二 多自由度系统和固有模态分析1，多自由度系统。定义：在任意时刻需要两个或更多的广义坐标才能完全确定其位置的系统。 A, Lagrange 方程对于许多复杂的机械系统，利用Lagrange方程去建立系统的运动方程常常是非常有效的。Lagrange方程的一般形式可表示为 i=1,2,.,n式中是广义坐标，对于n自由度系统有n个广义坐标。沿广义坐标方向作用的广义力。T是系统的动能函数，U是系统的势能函数，D是系统的散逸函数。列出系统的势能、动能和散逸函数后，由Lagrange方程可得到n自由度系统的运动方程B, 无阻尼自由振动和特征值问题n个自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为方
14、程表明，时间函数和空间函数是可以分离的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间无关，因此，其比值一定是一个常数。是时间的实函数，比值一定是一个实数，假定为，有把它写成矩阵的形式，为式中也可表示为解上面两个方程的问题叫做矩阵和的特征值问题。方程的通解为2 模态分析一个n自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为式中是外激励力向量。如果外激励力时简谐激励力、周期激励力或不同频率的简谐激励力的某种组合时，利用振型矩阵，把描述系统运动的坐标，从一般的广义坐标变成主坐标，把运动方程变成一组n个独立的方程，叫做模态分析法。使用它使得强迫振动运动方程的求解和分析大为简化。要解矩阵和的特征值问题对质量矩阵归一的正则坐标有由此，得到广义坐标的一般运动为方程描述了系统过度过程的运动，对于外激励力为简谐函数时，系统的稳态响应是指与外激励
