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1、章末复习课,第三章 变化率与导数,学习目标 1.会求函数在某点处的导数. 2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 函数yf(x)在xx0处的导数,1.函数yf(x)在xx0处的 称为函数yf(x)在xx0处的导数， 记作 ，即f(x0) . 2.函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处_ ，在点P处的切线方程为 .,瞬时变化率,f(x0),切线,的斜率,yf(x0)f(x0)(xx0),知识点二 导函数,如果一个函数f(x)在区间(a
2、，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为 ，f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x) 为f(x)的导函数，通常也简称为 .,f(x),导数,知识点三 基本初等函数的导数公式,x1,cos x,sin x,axln a,ex,知识点四 导数的运算法则,设两个函数f(x)，g(x)可导，则,f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),题型探究,类型一 利用导数的定义解题,例1 利用导数的定义求函数y 的导数.,解答,(1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和x趋于0的方式，函数的改变量y与自变量的改变量x的比趋于一个固定的值.,反思与感悟,(2)在用定义
3、求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形.,解答,类型二 导数的几何意义,例2 函数yf(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是 A.0f(2)f(3)f(3)f(2) B.0f(3)f(3)f(2)f(2) C.0f(3)f(2)f(3)f(2) D.0f(3)f(2)f(2)f(3),答案,解析,过点(2，f(2)和点(3，f(3)的割线的斜率 又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知 0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选B.,导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意： (1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标； (2)切点既在曲
4、线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标； (3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.则a的值是_.,f(0)a， yf(x)在点(0，2)处的切线方程为y2ax， 由题意知x2时，y0，可得a1.,答案,解析,1,类型三 导数的计算,例3 求下列函数的导数： (1)yx2ln xax；,解答,y(x2ln xax)(x2)(ln x)(ax),解答,(3)y(x1)(x2)(x3)；,解答,因为y(x23x2)(x3)
5、x36x211x6， 所以y3x212x11.,解答,有关导数的计算应注意以下两点 (1)熟练掌握公式： 熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则. (2)注意灵活化简： 当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导.,反思与感悟,跟踪训练3 求下列函数的导数：,解答,解答,y(cos xsin x)(cos x)(sin x) sin xcos x.,类型四 导数的综合应用,例4 设函数f(x)a2x2(a0)，若函数
6、yf(x)图像上的点到直线xy30距离的最小值为 ，求a的值.,解答,因为f(x)a2x2，所以f(x)2a2x，令f(x)2a2x1，,利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.,反思与感悟,跟踪训练4 已知直线x2y40与抛物线y2x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使ABP的面积最大.,解答,设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图. 由于直线x2y40与抛物线y2x相交于A、B两点， 所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大，
7、只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧 上的一点， 因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点， 由图知点P在x轴上方， y01.P(1，1).,当堂训练,2,3,4,5,1,1.自由落体的物体在t4 s时的瞬时速度是指 A.在第4秒末的速度 B.在第4秒始的速度 C.在第3秒至第4秒的平均速度 D.在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度,物体在某一时刻的瞬时速度是指这一时刻末的速度.,答案,解析,2.已知函数f(x)x22x，则f(2)等于 A.16ln 2 B.168ln 2 C.816ln 2 D.1616ln 2,f(x)2x2xx22xln 2， f(2)1616ln 2.,
8、答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,3.若函数yf(x)x3，且f(a)3，则a等于 A.1 B.1 C.1 D.不存在,f(x)3x2，又f(a)3， 所以3a23，所以a1.,答案,解析,2,3,4,5,1,4.若直线y xb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.,设切点为(x0，y0)，,答案,解析,ln 21,2,3,4,5,1,5.已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_.,由于P，Q为抛物线x22y(即yf(x) )上的点，且横坐标分别为4， 2，则P(4，8)，Q(2，2)，从而在点P处的切线斜率kf(4)4. 据点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y84(x4)； 同理，曲线在点Q处的切线方程为y22(x2)； 上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为4.,答案,4,解析,规律与方法,1.利用定义求函数的导数是逼近思想的应用. 2.导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率. 3.对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量.,本课结束,
