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1、华南农业大学理学院应用数学系,大学数学,前 言,大学数学包括微积分和线性代数两部分,微积分发展简史,15世纪的文艺复兴的思想基础,17世纪发明的直角坐标系提供条件,费马，巴罗等人的先驱探索,牛顿，莱布尼茨提出系统理论,教材,参考书,网上资源,辅导类参考书,http:/ 合,理解函数的概念,设 x 和 y 是两个变量。D 是一个给定的数集。如果对于每个数 x D ，变量 y 按照一定法则总有（唯一）确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y = f (x), 数集 D 叫这个函数的定义域，x 叫做自变量， y 叫做因变量。,f (a) 表示函数 f (x) 在 x= a 时的函数值,
2、函数 f (x) = 3x中 对应法则 f 是什么？ f （1）=？,什么是函数 function,函数的映射定义,对应,映射,函数,多对一,一对一,非空数集,设 D 为非空数集。称一个映射,实数集,为函数关系或函数，称 D 为函数的定义域，f 为对应法则。,定义域 D 和对应法则 f 是函数关系的两要素,f (D)= y| y = f (x), x D 称为函数的值域,函数 f (x) =lg x2 与 f (x) =2lg x 是同一函数吗？ f (x) = x2 与 f (t) = t2 呢?,函数的表示方法,(1) 公式法,(2) 表格,(3) 图象法,所以定义域为,练一练,例 题,解
3、答,解,函数的定义域是使得式子有意义的所有的自变量取值。,符号函数,函数举例,取整函数,分段函数,在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数,注意：求分段函数的函数值时，要根据自变量的取值范围，确定相应的函数表达式；分段函数的定义域为各定义区间之并集。,例如：邮费的计算、薄利多销政策下的价格等，都是分段函数。,集合的特征函数,整标函数,定义域为正整数集N,数列,数列是一类特殊函数。,设 函数 f (x) 的定义域为 D ，,若存在正数 M 使对任意 x D, 都有,则 称 f (x) 在 D 上有 界, 或 称 f (x)是有 界函数（bounded functio
4、n )。,函数的几种特性,有界性,在定义域的子区间 I 上任意两点 x 1 和x 2,则 f (x) 是 区间 I 上的 增函数,则 f (x) 是 区间 I 上的 减函数,单调性,如果,如果,设函数 f (x) 的定义域 D 关于原点对称,f (x) 为 偶函数,f (x) 为 奇函数,偶函数的图像关于 y 轴对称,奇函数的图像关于 原点对称,奇偶性（对称性）,恒成立，则称 f (x) 为周期函数,l 称为 f (x) 的周期。,是周期函数吗，若是，周期是多少？最小正周期是多少？,周期性,在所有周期中的最小正数称为函数的最小正周期。,是周期函数，所有有理数都是周期，无最小正周期。,e=2.7
5、182818,基本初等函数,幂函数：,指数函数：,三角函数：,反三角函数：,直接函数的定义域是其反函数的 值域；而直接函数的值域是其反 函数的定义域。,互为反函数的两个函数在图象上关于直线 y=x 对称。,反函数 inverse function,习惯上用 x 表示自变量，y 表示因变量。于是,的反函数记成,解出x,交换x,y,函数的复合 Composition of functions,由常数和基本初等函数出发经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数,引例:已知两个函数 y = sin u 和 u = 2 x ， 把u 代入得 y = sin2x ，y = sin2x 称为这两个函数的复合函数。再如,x,u,y,中间变量,复合函数分解为简单函数,由外及里逐层分解,例 题,练一练,幂指函数,本节的主要内容：1、函数的概念及确定函数的两要素；2、函数的定义域的确定；3、分段函数的定义域及其函数值的确定；4、函数的复合条件及复合函数的定义域的确定。,
