梁的应力,1 梁的正应力,2 梁的合理截面形状及变截面梁,3 矩形截面梁的切应力,4 *工字形及其它形状截面梁的切应力,5 梁的强度条件,,,,平面弯曲,,,1 概述及弯曲内力,2 弯曲正应力,3 弯曲切应力,4 梁的强度条件,5 弯曲中心,,1 梁的正应力 (Normal Stress of The Beam),●内力在横截面上的分布形式,？,正应力,切应力,,,剪力FQ,弯矩 M,,,,,,,●纯弯曲(Pure bending) ：,,,,a,B,,,A,F,,F,,D,C,,,,,,,,,a,,,梁受力弯曲后，横截面上只产生弯矩而无剪力的弯曲( AB段) 剪切弯曲(Transverse bending )：AC、BD段,★纯弯曲梁的正应力公式,思路：,,,,实验观察得应变 的变化规律,应力 的变化规律,横截面上任一点的应力计算式,1、变形几何关系 ●实验观察： (1)变形前互相平行的纵向直线，变形后均变为圆弧，且凸边伸长，凹边缩短； (2)变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍为直线，且仍与纵向曲线正交●实验分析,(1)平面假设(Hypothesis of plane section),(2)单向受力假设,,,,横截面在变形后仍为平面，并和弯曲后的纵向层正交,假设梁由纵向线组成，各纵向线之间互不挤压，即每一纵向线受单向拉伸或压缩,,,,(3)梁变形后，同一层纵向纤维的长度相同，即同层各条纤维的伸长（或缩短）相同,(4)中性层(Neutral layer)：,中性轴(Neutral axis)：,,,,既不伸长也不缩短的纵向层,中性层与横截面的交线,,,,,,,Oy：,竖向对称轴,Oz：,中性轴,？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,中性层曲率半径,,,曲率K,曲率中心O',dx,,,,上式表明：梁在纯弯曲时，其纵向纤维的线应变与纤维所在的位置有关，离中性层愈远，纤维的线应变愈大；线应变与梁变形后的弯曲层度有关，曲率K愈大时，同一位置的线应变也愈大。
2 物理方面,,此式表明：横截面上离中性轴愈远的地方，其正应力愈大；梁弯曲后曲率愈大时，同一位置的正应力也愈大,,,,3 静力学方面,结论：z轴(中性轴)通过截面的形心,确定中性轴的位置,,,,,●推导正应力的计算公式,这表明：梁在外力作用下，横截面上的弯矩愈大，梁的弯曲程度就愈大；EIz愈大，梁的弯曲程度就愈小EIz：梁的抗弯刚度(Flexural rigidity)，其意义是梁抵抗弯曲变形的能力,,,,●正应力在横截面上的分布规律,,,,所求截面上的弯矩,截面惯性矩,所求点的y坐标,弯曲截面系数(section modulus of bending),Maximum normal stress,●在使用正应力计算公式时，要注意以下几点： (1)公式中的M与y是代数量，应将其数值与正负号一并代入公式，如果得到的为正，则表明是拉应力；反之为压应力实际应用时，也可以绝对值代入，得的数值，再根据变形(Me正负)来判断其正负例：已知1-1 截面上的弯矩M0，试判断其上A点正应力的正负号2)公式中不含弹性模量E，说明正应力的大小与材料无关但在推导公式的过程中应用了胡克定律，因此，公式只适用于线弹性材料。
(3) 公式是从矩形截面梁导出的，但对截它截面形状(如工字形、圆形、T字形等)同样适用 (4)公式是在纯弯曲的情况下导出的，但实践证明，由于剪力对正应力的分布规律影响很小，因此，对于有剪力作用的弯曲（即非纯弯曲）此式同样适用正应力公式的推广,,,,例1：一T形截面铸铁梁，梁上荷载如图所示，已知L=3m，F=30 kN，q=40kN/m试确定此梁上的最大拉应力和最大压应力分析： max,,,,式中：Mmax为绝对值最大,最大拉应力和最大压应力在同一个截面上,且有max= -min,如果[t][c],(1) 如果横截面上、下对称,?,,,,如果[t][c],→不对称截面,,,,宽翼边缘受拉，窄翼边缘受压,,,,(2) 如果横截面上、下不对称,ⅱ)全梁最大正弯矩为M1，最大负弯矩为M2(绝对值),ⅰ)梁上只有正弯矩或负弯矩;,最大拉应力和最大压应力在同一个截面上,最大拉应力和最大压应力不一定在同一个截面上,讨论,,,,70kN,,,,,,,,FS图,M 图,,50kN,,,,,30kN,,,,,,解：(1)作剪力图和弯矩图,(2)求横截面的形心C的位置,,,,,(3)求截面对中性轴的惯性矩,,,(4) 求抗弯截面系数,,,,,,(5)求最大拉应力和最大切应力,,,,,,,,,1 为什么要把截面设计成工字形? 2 为什么要把梁设计成变截面?,,,,扬州大学讲课比赛,梁,梁,The member of which the deformation is mainly bending is generally called beam(梁).,3 为什么要将支座布置梁的中间?,,,,扬州大学讲课比赛,,,,,,,,,扬州大学讲课比赛,,,,,,梁的合理设计 Reasonable Design of the Beam,★ 合理选取截面形状,★ 合理设计梁的外形,★ 合理配置梁的荷载与支座,优化目标：,同样多的材料（相同的截面面积），Wz值尽可能大。
一 合理选取截面形状,,,,梁的合理设计,一个有趣的实验,1 矩形、正方形、圆形、工字形截面的合理性比较,设横截面面积相等，以22a工字形截面为基准，圆的直径为d，正方形的边长为a，矩形的高和宽分别为h和b（ h /b=1.5）梁的合理设计,截 面形 状,弯曲截面系数Wz（cm3）,38.4,45.4,55.6,309.0,A=42cm2,A=42cm2,A=42cm2,A=42cm2,z——中性轴,,,,（截面面积相同情况下）工字形最好、矩形次之、方形再次、圆形最差,结论：,梁的合理设计,物理解释（应力分布）,,,,,,原则,,,,2 关于矩形截面的进一步讨论,梁的合理设计,(1) h/b↑(A不变)→Wz,↑,?,,,,梁的合理设计,(2) 矩形木梁的合理高宽比问题,从圆木中锯出一矩形截面梁，试分别求出使得强度最高（ Wz ） 、刚度最大（ Iz ）的高宽比（h/b）？,“凡梁之大小，各随其广为三分，以二分为厚”（北宋 李诫 《营造法式》1100年）,,,,梁的合理设计,,,,Thomas.Young（英）于1807年著《自然哲学与机械技术讲义》一书中指出，矩形木梁的合理高宽比：,时，强度最高,时，刚度最好,梁的合理设计,Young’s Modulus,托马斯.杨（Thomas. Young,1773～1829）英国物理学家。
1807年，提出弹性模量的定义，为此后人称弹性模量为杨氏模量如果[t][c]，如何设计截面,?,,梁的合理设计,,,,如果[t] [c],3 根据材料特性选择截面形状,梁的合理设计,上下不对称截面,,思路：“劫富济贫”,1 薛福林.梁截面形状经济合理性的合理衡量法. 力学与实践，1996， 18(5),2 郭长青.用Wz/A衡量截面形状合理性的不合理性.力学与实践，2002，24(1),3 薛福林.再说梁截面形状经济合理性的合理衡量法.力学与实践，2002， 24(6),,,,梁的合理设计,延伸阅读----梁截面形状经济合理性的评价,二 合理设计梁的外形——变截面梁,截面优化,,,,圆形、方形、矩形、工字形截面的比较,梁的合理设计,→等截面梁,一般做法：,,存在问题：,轴向优化,,,,→变截面梁(beam with non-constant section),梁的合理设计,改进方法：,,思路：“按需分配”,z,,,,,具体做法:,鱼腹梁,,,,(x),梁的合理设计,写出弯矩方程M(x),固定b,考虑切应力强度条件,↓,↓,↓,hmin,这种每个截面上的材料潜能都得到了充分发挥的梁称为等强度梁（constant strength beam）,是（世）人皆同高（中医针灸）,阶梯轴,实 例,,,,扁担、鱼杆、香港中国银行大厦（70层）,梁的合理设计,理 论 联 系 实 际,1 矩形截面与工字形截面? 2 等截面梁与变截面梁?,,,,梁的合理设计,混凝土,金属,三 合理配置梁的荷载与支座,,,,,,梁的合理设计,(1) 荷载作用方式,桥式吊车,n,1,3,5,7,…,n→∞,k(Fl),1/4,1/6,3/20,1/7,…,1/8,,,,,,梁的合理设计,(2) 支座配置,,,,,0.5,0.25,a*,,3 梁横截面上的切应力 (Shearing Stress on The Cross Section of The Beam),,,,一、矩形截面梁,,,,矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律,(1) 由于梁的侧面为t =0的自由表面，根据切应力互等定理，横截面两侧边处的切应力必与侧边平行； (2) 对称轴y处的切应力必沿y轴方向，即平行于侧边； (3)横截面两侧边处的切应力值大小相等，对于狭长矩形截面则沿截面宽度其值变化不会大。
t,两点假设：,(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行(与剪力方向相同)；,(2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小t 相等剩下的问题是： 切应力沿高度方向 如何分布？,,,,横截面上纵向力不平衡意味着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩,而横截面上纵向力的大小为,,,,,,,,m,n,,,m',,,y,,y1,,,,A,B,,A1,,B1,,,,,,,,,,,,,纵截面上水平剪力值为,要确定与之对应的水平切应力t ′ 还需要补充条件,,,,根据前面的两点假设，结合切应力互等定理(t ' = t ),推得： (1) t ' 沿截面宽度方向均匀分布； (2) 在dx微段长度内可以认为t' 没有变化m,n,,,m',,,A,B,,,B1,,,,,,,,,,,,根据前面的分析,即,又,由两式得,,,,其中：,矩形截面梁弯曲切应力计算公式,Sz* →所求剪应力作用层以下（或以上）部分的横截面面积对中性轴的静矩FQ→ 横截面上的剪力；,Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；,b → (所求作用层处)与剪力垂直的截面尺寸；,即：最大切应力出现在中性轴上，其值为截面上平均切应力的1.5倍。
二、工字形截面,1 腹板上的切应力,,,,横截面上的剪力,腹板宽,截面惯性矩,讨论：,,,,,2.,1. b1b→max与min相差不大,腹板上切应力之合剪力,近似估算,FQ：截面上的剪力； Sz：欲求剪应力点到翼边缘间的截面面积(图中的阴影部分)对中性轴的静矩； Iz：整个工字形截面对中性轴的惯性矩； ：翼缘厚K,2 翼缘上的切应力,●大小,式中：,,,,,,,●方向,“切应力流”,三、薄壁环形截面梁,薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征： (1) d r0→沿壁厚切应力的大小不变； (2) 内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切； (3) y轴是对称轴→切应力分布与 y轴对称；与 y轴相交的各点处切应力为零最大切应力tmax 仍发生在中性轴z上薄壁环形截面梁最大切应力的计算,,,,四、圆截面梁,切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与 y轴对称；与 y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量ty沿宽度相等最大切应力tmax 在中性轴z处,,,,例4：一矩形截面外伸梁，受均布荷载作用，如图示。
试分别画出梁上1，2，3，4点处四个单元体的应力，并写出应力表达式4 梁的强度计算,,,,1 梁的强度计算,强度条件的一般形式：最大工作应力≤许用应力,●梁。