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1、,微 分 几 何,用微积分方法研究几何图形的性质,包括平面几何和立体几何,用代数的方法研究图形的几何性质,金融几何 代数几何 计算几何 ,返回主目录,教材 彭家贵、陈卿：微分几何，高等教育出版社（2002） 参考书书 梅向明、黄敬之：微分几何（第四版），高等教育出版社出版（2008） 陈维桓：微分几何初步，北京大学出版社（1999） 周振荣、杨文茂、郑高峰、赵玮：微分几何，武汉大学出版社（2008）,教材与参考书,返回主目录,蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如 a 、 r (u,v)、A 等 粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p 和自然对数的底数 e 等 黄色字母代表特殊函数（如正弦函数
2、sinq 等）、特殊空间（如欧氏空间 R3 、平面R2 和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标向量，如 i 、 j 、 k ）或者变换群 字母右上角的撇号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的圆点代表对弧长参数求导数,符号说明,返回主目录,第一章内容概要,本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、合同变换群等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的 向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉格朗日公式是这一节的重点 向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解,返回章首,1.1向量代数,内容：向量积、内积、混合
3、积的性质与计算 重点：拉格朗日公式,返回章首,集合 R3 = (x, y, z) | x, y, zR 称为三维实向量空间，其元素 (x, y, z) 叫做一个向量。,a,i,j,k,O,返回章首,1.1 向量代数-向量,例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是 R3 的三个向量。,除了 i 、j 、k 这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a 、 r 、a、 b 等。,几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。,再设 a = (x, y, z)，lR，则 l 与 a 的数乘定义为 la
4、= lxi + lyj + lzk = (lx, ly, lz).,设 a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，则它们的和定义为 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).,a1,a2,a1+a2,a,la,返回章首,1.1 向量代数-线性运算,设 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) ，则任意向量 a = (x, y, z) 可表示为 a = xi + yj + zk（如图）,a,i,j,k,O,zk,yj,xi,xi+yj,= xi+yj+zk,返回章首,1.1 向量代数-向量,设 ai =
5、 (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的两个向量，它们的内积定义为 a1 a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 内积具有如下性质： 正定性a a 0，等式成立当且仅当 a = 0； 对称性a b = b a； 线性性a (kb + hc) = ka b + ha c 向量 a 的长度为 |a| = (a a)1/2；长度为 1 的向量叫单位向量,返回章首,1.1 向量代数-内积,1.1 向量代数-两个不等式,定理. 对任意的两个向量 a、bR3 有下面两个不等式成立： 许瓦滋不等式 a b |a| |b| 闵可夫斯基不等式 |a + b| |a| + |b|
6、这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是 ab,返回章首,1.1 向量代数-两向量的夹角,向量 a 与 b 的夹角为,如果两个向量的夹角是 p/2，就称这两个向量相互垂直或正交因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零,由许瓦兹不等式可知 | cosq | 1.,返回章首,1.1 向量代数-距离,两个向量 a、b 作为 R3 的点，它们之间的距离定义为 d(a,b) = |a b|在 R3 上装备了这样的距离函数之后就叫欧氏空间 距离具有如下性质： 正定性d(a, b) 0，等式成立当且仅当 a = b； 对称性d(a, b) = d(b, a)； 三角不等式d(a, b) d(a, c)
7、+ d(c, b),返回章首,1.1 向量代数-向量积,a,b,a b,q,伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量 a 朝向量 b 旋转一个较小的角度（小于180）到达 b，则大拇指所指的方向就是 a b 的方向（如图）,设向量 a、b 的夹角为 q，则它们的向量积（也叫外积）a b 是这样一个向量，其长度为 |a b| = |a|b| sinq，方向满足右手法则：,返回章首,1.1 向量代数-向量积的性质,根据向量积的定义，我们有 i j = k, j k = i, k i = j. 反交换律：a b = b a（见下图） 分配律：a (b + c) = a b + a c.,a,b,a
8、 b,a,b,b a,返回章首,1.1 向量代数-向量积的计算公式,注意：| a b | 等于由 a 和 b 张成的平行四边形的面积（如图）,设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的两个向量，则有：,a,b,q,|a|sinq,|a|b| sinq,=|a b|,返回章首,1.1 向量代数-混合积,三个向量 a、b、c 的混合积定义为 (a, b, c) = (a b) c 向量的混合积满足轮换不变性： (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b). 向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，如 (a, b, c)
9、 = (c, b, a)，等等.,返回章首,注意：|(a, b, c)| 等于由向量 a、b、c 张成的平行四面体的体积 （如图）,b,a,c,q,|a b|,q,|c|cosq,a b,|(a, b, c)| = |(a b) c| =|a b| |c|cosq =平行四面体的体积,返回章首,1.1 向量代数-混合积的几何意义,1.1 向量代数-混合积的计算公式,设 ai = (xi , yi , zi)（ i = 1, 2, 3 ）是 R3 中的三个向量，则有：,两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零，两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零，三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积
10、为零,返回章首,1.1 向量代数-拉格朗日公式,设 a、b、c、d 是 R3 的四个向量，则,特别地有,返回章首,看证明,练习题 1证明 (a b) c = (a c) b (b c) a （提示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公式,返回章首,1.2 向量分析,内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则 重点：链式法则,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的极限,设 r(t) 是一个向量函数，a 是常向量，如果对任意的 e 0，存在 d 0，使得当 0 |t t0| d 时，|r(t) a| e 成立，则称 a 是 r(t) 当 t 趋向于 t0 时的极限，记为 , 或者记为
11、 r(t)a (当 tt0) ,一元向量函数是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t) 的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的一元函数，叫该向量函数的分量函数,返回章首,1.2 向量分析-向量函数极限的计算,这个定理表明对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限,定理. 设 r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a = (x0, y0, z0) ，则,当且仅当,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的极限的性质,推论. （极限的运算性质）设当 tt0 时，有 r(t) a ，s(t) b ，l(t) c ，则我们
12、有： r(t)s(t) ab，l(t)r(t) ca r(t) s(t) a b r(t) s(t) a b,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的连续性,如果当 t t0 时有 r(t) r(t0) 成立，则称向量函数 r(t) 在 t0 处连续；如果 r(t) 在它的定义域内的每一点都连续，则称 r(t) 是连续函数 连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 在 t0 处连续的充分必要条件是每个分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在 t0 处连续,返回章首,1.2 向量分析-一元向量函数的导数,显然，若 r(t) 在一点
13、 t0 处可导，则它在该点处必定连续,存在，则称向量函数 r(t) 在 t0 处可导，而该极限就叫 r(t) 在 t0 处的导数，记为 r (t0)如果 r(t) 在它的定义域内处处可导，则称 r(t) 可导，此时 r (t) 叫 r(t) 的导函数（也简称导数）,设 r(t) 是一元向量函数如果极限,返回章首,1.2 向量分析-向量函数导数的性质,向量函数 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 的导数为 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 设 l 是普通函数，r、s、u 都是向量函数，则 (lr) = lr + lr； (rs) = r s； (r s) = r s
14、 + r s； (r s) = r s + r s； (r,s,u) = (r,s,u) + (r,s,u) + (r,s,u ),返回章首,可导的向量函数 r(t) 具有固定长度的充要条件是 r (t) 垂直于 r(t),可导的向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条件是 r (t) 平行于 r(t),1.2 向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数,返回章首,看证明,1.2 向量分析-一元向量函数的链式法则,定理. （一元向量函数的链式法则）设 r(u) 可微的向量函数，u = u(t) 是可微的普通函数，则复合函数 r(t) = r(u(t) 也可微，并且,返回章首,1.2 向量分析-
15、二元向量函数的偏导数,设 r(u,v) 是二元向量函数，如果极限,存在，则称它为函数 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处关于 u 的偏导数，记为 ru(u0,v0)；同样，我们可以定义关于 v 的偏导数 rv(u0,v0),二元向量函数是形如 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) 的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是普通的二元函数,返回章首,1.2 向量分析-二元向量函数的微分,返回章首,设 r(u,v) 是二元向量函数，令 Dr = r(u0 + Du, v0 + Dv) r(u0, v0). 如果存在向量 a、b 使 Dr = aDu + bDv + o(Du)2 + (Dv)2 1/2, 则称 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处可微，而 aDu + bDv就叫 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处的微分，记为 dr(u0,v0) = aDu + bDv r 的微分简记为 dr = aDu + bDv 或 dr = adu + bdv.,定理. 如果 r 是可微向量函数，则 dr = rudu + rvdv.,返回章首,1.2 向量分析-微分的计算,1.2 向量分析
