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1、 常微分方程复习题一、填空题1微分方程的阶数是_. 答:12形如_ 的方程称为齐次方程. 答: 3方程的基本解组是 答:.1. 二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)2. 方程的基本解组是 答:3. 若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是 。4.一阶微分方程是全微分方程的充分必要条件是 。5. 方程有只含的积分因子的充要条件是 。有只含的积分因子的充要条件是 。6. 一曲线经过原点,且曲线上任意一点处 的切线斜率为,则曲线方程为 。7. 称为n阶齐线性微分方程。8. 常系数非齐线性方程(其中是m次多项式)中,则方程有形如 的特解
2、。9. 二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解。10. 微分方程的一般解为 。9. 微分方程的阶数为 。10. 若为齐次线性方程的n个线性无关解,则这一齐线性方程的通解可表为 .11. 设为非齐次线性方程的一个特解, 是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .12. 若是齐次线性方程的个解,为其朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 。答:13. 函数 是微分方程 的通解.14. 方程的基本解组是 15. 常系数方程有四个特征根分别为(二重根),那么该方程有基本解组 16. 一定存在一个基解矩阵,如果是的任一解,那么 。17.若是的基解矩阵,则向量函数= 是的满足初始
3、条件的解;向量函数= 是的满足初始条件的解。18. 设分别是方程组,的解,则满足方程的一个解可以为 。19. 设为非齐次线性方程组的一个特解, 是其对应的齐次线性方程组的基解矩阵, 则非齐线性方程组的所有解可表为 .20.方程组的个解线性无关的充要条件是 .21. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量,它们对应的特征值分别是,那么矩阵= 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。二、单项选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( A )个 (A); (B)-1; (C)+1; (D)+2.2一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( C ) (A)不是其对应齐次微分方程组的解; (B)是非齐
4、次微分方程组的解; (C)是其对应齐次微分方程组的解; (D)是非齐次微分方程组的通解.3若,是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的通解可用这两个解表示为( C ) (A); (B);(C); (D).4下列方程中为常微分方程的是( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) (c为常数).5. 下列微分方程是线性的是( )(A) ; (B) ; (C); (D).6. 方程特解的形状为( )(A); (B);(C); (D).7. 下列函数组在定义域内线性无关的是( )(A) ; (B); (C); (D).8. 下列方程中为常微分方程的是( )(A); (B); (C)(c为
5、常数); (D).9. 下列微分方程是线性的是( )(A); (B); (C); (D).10. 方程特解的形状为( )(A) ;(B) ;(C) ;(D).11. 下列函数组在定义域内线性无关的是( )(A); (B);(C); (D).12. 下列方程中为常微分方程的是( )(A); (B);(C); (D)(c为常数).13. 下列微分方程是线性的是( )(A); (B); (C); (D) .14. 方程特解的形状为( )(A) ; (B) ; (C); (D).15. 下列方程中为常微分方程的是( )(A) ; (B); (C) ; (D) y=c1cost+c2sint (c1,
6、c2为常数).16. 下列微分方程是线性的是( )(A) ; (B); (C) ; (D). 17. 方程特解的形状为( )(A); (B) ;(C); (D).18. 下列函数组在定义域内线性无关的是( )(A) ; (B) ;(C) ; (D) 4-t, 2t-3, 6t+8.19. 下列方程中为常微分方程的是( )(A) x3+1=0; (B); (C); (D) .20. 下列微分方程是线性的是( )(A); (B); (C) ; (D) xdx+ydy=0.21. 方程特解的形状为( )(A) ; (B); (C) ; (D).22. 下列函数组在定义域内线性无关的是( )(A);
7、(B); (C); (D).23. 微分方程y-3y+2y=2x-2ex的特解y*的形式是 ( )(A) (ax+b)ex (B) (ax+b)xex (C) (ax+b)+cex (D) (ax+b)+cxex24. 微分方程的通解是y=( )(A); (B) ; (C) ; (D) .25. 设是线性非齐次方程的特解,则 ( )(A) 是所给微分方程的通解;(B) 不是所给微分方程的通解;(C) 是所给微分方程的特解;(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解,但肯定不是特解.26. 微分方程的特解的形式是y=( )(A); (B); (C); (D).27. 下列方程
8、中为常微分方程的是( )(A); (B) ;(C) ; (D).28. 下列微分方程是线性的是( )(A); (B); (C); (D).29.设是二阶线性非齐次微分方程的三个线性无关解,是任意常数,则微分方程的通解为( )(A); (B);(C); (D).30. 若连续函数满足关系式,则为( )(A); (B); (C) (D).31. 若,则它们所满足的微分方程为( )(A); (B); (C); (D).32. 设是二阶线性微分方程的三个不同的特解,且不是常数,则该方程的通解为( )(A) ; (B);(C); (D).33. 设是方程的两个特解,则(为任意常数)( )(A)是此方程的
9、通解; (B)是此方程的特解; (C)不一定是该方程的解; (D)是该方程的解.34. 微分方程的一个特解形式为( )(A); (B); (C); (D).35. 方程是全微分方程的充要条件是( B )(A); (B); (C); (D).36. 表达式是某函数的全微分,则( )(A); (B); (C); (D).37. 方程是特解的形式为( )(A); (B);(C); (D).38. 方程的特解的形式为( )(A) ; (B); (C); (D).39. 已知与是微分方程的解,则是( )(A)方程的通解; (B)方程的解, 但不为通解; (C)方程的特解; (D)不一定是方程的解.40.
10、 方程的特解的形式为( )(A) ; (B); (C); (D).41. 方程特解的形式为( )(A) ; (B);(C); (D).42. 方程特解形状为( )(A); (B);(C); (D).43. 方程的特解形状为( )(A); (B); (C); (D).44. 方程的特解形状为( )(A); (B);(C); (D).45. 方程的积分因子为( )(A); (B); (C); (D).46. 方程的积分因子为( )(A); (B) ; (C); (D) .47. 方程的积分因子为( )(A) ; (B); (C) ; (D) .48. 方程的积分因子为( )(A); (B); (C
11、); (D).49. 方程的积分因子为( )(A) ; (B); (C) ; (D).50. 方程的积分因子为( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .51. 方程的积分因子为( )(A); (B); (C); (D).52. 方程的积分因子为( )(A); (B); (C); (D).53. 方程的积分因子为( )(A) ; (B); (C); (D).54. 方程的一个基本解组是( ). (A) ; (B); (C); (D).55. 方程是( ) . (A)可分离变量方程; (B)齐次方程; (C)全微分方程; (D)线性非齐次方程.三、证明题1. 在方程中,在上连续,求证:若恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数证明: 设,是方程的