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1、微分方程方法建摸 在自然界及工程、经济、军事和社会等领域中，有许多问题都可以看成是实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，这一过程可借助微分方程来描述。通过对微分方程的分析、求解来预测问题的未来性态，控制其发展趋势。微分方程模型的建立是利用机理分析法找问题的内在规律并列出方程，其特点是利用微元法，分析建立瞬时变化率的表达式，再根据所给的特定条件，确定解曲线。因此如何根据时间问题描述“变化率”是建立微分方程模型的关键。本章介绍了微分方程建摸所需要遵循的准则、微分方程建摸的基本方法、微分方程建摸的过程以及如何通过方程解去解释实际现象并接受检验。 建立微分方程模型，目的就是找到微分方程的一条
2、解曲线。微分方程所反应的思想就是如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能够重新构造这样的解曲线。模型需要根据实际问题中表示“导数”的常用词及问题所遵循的规律“模式”来建立。下面先通过一个例子说明如何寻找“倒数”及“模式”。例 某人的食量是10467J/d，其中5038J/d用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69J/（kg*d）乘以他的体重（kg）。假设以脂肪形式储藏的热量100%地有效，而1kg脂肪含热量41868J。试研究此人的体重随时间的变化的规律。分析 本问题是找体重关于时间变量的函数，若将体重看成是时间t的连续可微函数，只要能找到体重满足的
3、微分方程就可以求出这个函数。但题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，要想找到替代“导数”概念的陈述，利用微元法，看看问题中“每天”体重的变化是由什么因素引起的。由题意可知，“每天”体重变化应满足下面关系; 体重的变化=输入输出， 输入=扣除基本的新陈代谢之后的净吸收量， 输出=进行健身训练时的消耗量 为考虑导数，将上述关系表示为更好的倒数意义的陈述，即连续函数的瞬时变化满足下面关系式： 体重的变化、天=净吸收量、天-运动消耗量、天，其中 净吸收量、天=10467-5038=5429（J/d）, 运动消耗量/天=69 (J/kgd) (t)(kg), 体重的变化/天=（kg/d）, 在上
4、述描述中，我们注意到，在等式两边的单位是不相匹配的，有些量是用重量单位形式(kg)给出，有些是用能量单位形式（J）给出，利用下面公式将两个单位换算成统一形式： 1kg/d=建模 由上述分析，体重满足下面关系式两边的物理单位量纲一致，令，整理得若已知最初体重为，即，可解得 由上述表达可知。随着时间的变化，人的体重最终趋于一种平稳的值1300/1681.25,即时，平稳=81.25（）。从上述例子叙述中，可归纳出常微分方程模型建立所应遵循的几个原则：1）翻译，将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数。2)转化.在实际问题中，有许多与导数相对应的常用词，如“速率”、“增长”（在生物学、人口学问题研究中
5、）、“衰变”（在放射性问题中）及“边际”(在经济学中)等，要注意对它们的利用。3）模式。找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：利用熟悉的力学、数学、物理及化学等学科中的已有规律，对某些实际问题直接列出微分方程；模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下面的模式 改变率=净变化率=输入率-输出率4）建立瞬时表达式。微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。由此根据寻找到的问题所遵循的模式，建立起在自变量时段上的函数的增长量的表达式，令0，即得到的表达式。5）单位。在建立的模型中，等式两端也采用同样的物理单位。6）确定条件。这些是关
6、于系统在某一特定时刻或边界上的信息，他们独立于微分方程而成立，用于确定有关的常数，为了完整，充分地给出问题陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。增（减）肥的数学模型肥胖已经成为公众日益关心的卫生健康问题，1999年世界卫生组织已正式宣布肥胖是一种疾病肥胖症。怎样从数量上来界定是否肥胖（给出一种标准）就变得很重要了，体重指数(BIM,BodyMass Index)测算法是近年来比较流行、临床上经常使用的，也是世界卫生组织（WHO）专家委员会经常使用的，也是世界卫生组织（WHO）专家委员会推荐的国际使用的肥胖分型标准参数，其计算公式为：体重指数=实际体重（kg,即千克）除以米计身高的平方（m
7、2）.或简单表述为BMI=千克/=kg/.按世界卫生组织1997年公布的标准为 BMI(WHO专家认为)BMI(WHO专家认为对亚洲人)正常18.5BMI24.518.5BMI22.9超重25BMI2723BMI27BMI25轻度肥胖：27BMI30中度肥胖：30BMI35也有其他的算法，例如理想体重和肥胖胖度测算法，腰围，臀围比例测量法等。肥胖是与目前严重危害人类健康的疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾患、痛风、骨关节病、堵塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一，肥胖也是身体的晴雨表，反映着体内多方面的变化，很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥
8、不仅是人们经常听到的话题，更是很多人花很多时间和金钱去付诸实践的行为，从而也造就了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品或治疗方法、夸大治疗的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，明令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况却是违禁不止，丰胸减肥广告走下电视登上网站等等不一而足。之所以会造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。本节就是要来建立一个简化的减（增）肥的数学模型
9、（对于饲养牛、猪、鸡鸭或鱼的工厂或个人而言，恐怕是要这些动物增肥而不是减肥的问题了）。由于人们变得肥胖以及减肥的过程都是极其复杂的过程，因此我们只能做出合理的简化才有可能建立数学模型，而且能过帮助我们提高意识，从而做出正确的数学模型。 我们首先来说明模型的简化假设。（1） 时间t的单位为天,人的体重为;初始时刻表为t=0,初始体重为= .体重单位为千克.（2） 我们可以把人的体重分为两个部分:可以通过”燃烧”转化为热量的脂肪的重量(减(增)肥就是减少或增加这部分脂肪)以及由骨骼.脏器和水等组成的部分的重量.（3） 医生和生物学家都认为所谓的减肥就是”燃烧”掉人体内多余的脂肪.通常认为kg纯脂肪
10、完全”燃烧”掉的话,相当于750010000kcal的热量,在我们的模型中我们采用10000kcal,而且假设我们每天的饮食量所相当的热量R完全转化为重Q/1000KG的纯脂肪(不考虑什么时间吃,吃什么东西,它们相当的热量,只考虑每天吸入的总热量,而且是不会变的。)（4） 为了通过新陈代谢来维持我们的生命以及各种功能,我们每天都必须消耗掉一定的热量(脂肪).可以有两种考虑,一是认为没小时没千克的体量最低限度消耗1.008kcal的热量(可以参考www.cityu.edu.hk/sds/pes/odcourse/notes.doc上的文章).因为一个体重为70KG的人,每天至少要提供大约70*2
11、4=1680KCAL的热量.另外一种考虑是认为对于一个特定的人,为维持他的新陈代谢所需要的热量是一定的,对体重的增减没有关系.下面我们将在这两种假设下建立两个不同的模型.（5） 运动需要消耗热量,而且有许多计算的方法(例如,做什么样的运动,多长时间,就要消耗多少热量,等等).在我们的模型中,我们只考虑一天里由于与体重成正比的运动而消耗掉的总热量.模型1 假设某人每天吸入热量为a kcal,a0,单位时间内由于锻炼消耗的热量成正比，记b,b0,b=0表示没有任何运动， b的量纲为b= 。单位时间新陈代谢需要消耗的热量也与成正比，记c ,c0.于是，在时间区间t,t+t上利用热量守恒定律，有t,t
12、+t上热量的变化（减少或增加）=在该t时间内吸入的热量在该t时间内支出的热量， (t-t )- 10000=a- b- ct, 令t，得数学模型记则有为求解（3.4 -2），在方程两边乘，得到从0到t积分，并利用初始条件，就得到（3.4 -2）和(3.4 -1)的解: ,即 （3.43） 我们从（3.）来分析一些极端情形，并看看它们告诉我们什么结论。.当t+时，由于我们可以调节，a，b，c使得等于任何数，即理论上讲，你要减（增）肥到多重都是可能的，只要你能适当调整饮食、锻炼和新陈代谢，即调整a,b,c就可以了。但是，不吃东西、任意改变新陈代谢和锻炼过度都不可取。称为（3.41）的平衡点，也可以
13、直观地认为是平衡重量，即按照这个模型，不论初始体重为多少，最终会单调增加或单调减少达到这个平衡体重。我们应该对减肥有信心，不必太过忧虑。2.不进食是危险的，因为这时a=0，（3.41）的解为=t+，0.体重都没有了，命也就没了！当然不会发生这种情形，而是产生厌食症，并发其他疾病而导致死亡。报刊上不时有这样的报道，就说明了这种情形。3.如果只吃而根本不锻炼，又假设按照BMI的公式计算，你已经属于肥胖，而且你每天还吃得很多，那会怎么样呢？我们用一组数据来分析。设a=5000,b=26,c=24,则平衡体重为100kg；如果b=0，则平衡体重将为5000/24208.34kg,最终重要翻一番，相当可
14、怕！如果此人现在体重为80kg，那么不到14个月他的体重就会翻一番达到160kg！真正重要的是，要选择健康、合理的饮食方式，加强体育锻炼，同时应该要求食品工业企业在加工食品的过程中减少盐、油脂和糖的添加量，多生产健康食品。【例】 某男子身高1.7m，现在的体重为80kg，他的饮食量相当于5000kcal/d，新陈代谢需要消耗热量约为24kcal/（kgd），运动消耗的热量约为26 kcal/（kgd）。问他的体重随时间的变化规律；他需要减肥吗？如果需要应该怎样减肥？需要多少天才能减到他想要的体重？解 已知a=5000,b=25,c=24,w0=80,于是由（3.4-3）知 = +(80 -)=
15、100-2.按照BMI的计算公式，1.7m高的人的正常体重应该小于251.71.7=72.25kg，也就是说，他已经超重了，应该减肥。但是必须作出一些改变，因为按照现在这样下去，体重最终会增加到100kg。怎样减肥？如果认为新陈代谢和运动都是合适的话，那么只有减少饮食量了。如果每天的饮食量减少到3500kcal，则平衡体重为70kg，体重有可能减下来。由=70+10，那么，要多少天才能减少到72.25kg呢？即从=72. 25求t。t=-100ln149d.大约需要149d就能减到72.25kg。如果饮食量减少到3000kcal/d，则有t=-100ln49d，既只需要49d就能减到72.25kg。试用Mathematica画这两种情形的图形，以获得直接的印象。我们体重
