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1、微分方程及其定解条件、等效积分原理,这一部分里，我们将看到以下内容,几个典型物理问题及其数学描述（微分方程和定解条件） 微分方程的类型 微分方程的边界条件 微分方程及其边界条件的等效积分原理,几个典型的问题,弦振动问题的微分方程及定解条件 传热问题的微分方程及定解条件 位势方程及定解条件,弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、 电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉 锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表 示弦。 这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度 的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下 做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位 移与平
2、衡位置垂直,弦的长度l，线密度为 ，弦的张力为T,弦振动的微分方程为：,f是垂直于平衡位置的外力,这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态， 但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的 振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一 种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：,初始时刻各点的位移,初始时刻各点的速度,另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说 给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有 三种：,第一种给定弦端点的位移,第二种给定位移梯度的端点值,位移的梯度表示弦线的挠度,第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是 一个已知函数，对于弦振动,这个边界条件的物理意义
3、是，弦的端点固定在两个 弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1,以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定 解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样 问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件 的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的， 称为边值问题。,下面来看第二个典型问题：热传导问题,三维非定常热传导问题的微分方程为：,物体的比热容,物体的密度,物体的热传导系数,物体内部热源强度,与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除 了上面那个微分方程以外，还需要定解条件，定解条 件也包括两种：初值条件和边值条件,初值条件，是初始时刻物体的温度场,边值条件也有三种,第
4、一种：给定边界的温度,第二种：给定边界的热流量,第三种：给定边界的热流量和温度线性组合,下面来看第三个典型问题：位势方程,在三维热传导问题中，如果温度不随时间变化，即 定常热传导，三维热传导方程可以写为,假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化,这个方程又称为泊松（Poisson）方程,再进一步，如果均匀物体中没有热源，稳态热传导方程 为,这就是我们熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）,以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系 下的形式，下面给出它们的算子形式，它们在其它坐标 也成立系,泊松方程,拉普拉斯方程,其中，在笛卡尔坐标系下：,称为哈密顿（Hamilton）算子,称为拉普拉
5、斯算子,从上面的算子表达式，再回忆我们学过的高等数学的 知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度 是一个向量场，而反过来说，如果一个向量场是一个 标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场 称为有势场的位势场或位势函数,在定常热传导问题中，温度场的梯度为,也就是说，这个向量场是温度场的梯度，是一个有势场 而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊 松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因,现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与 时间无关，不需要初值条件因此位势方程的定解条件 类似三维热传导方程的三种边界条件，,现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程,第一个微分方程，方程
6、两边微分的最高阶数都是2，如 果做移项整理,这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似,这类的方程又称为双曲型微分方程,再看第二个方程，现在加上物体均匀，为了几何上更 直观这个方程可以，我们写出一维的情况,这个方程形式和抛物线方程形式类似,这类方程又称为抛物型微分方程,最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的 情况,这个方程形式和椭圆方程形式类似,这类方程又称为椭圆型微分方程,微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭 圆型,请大家注意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的 准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的 有关书籍和资料,有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。,
7、现在来总结一下边界条件，我们看到，在以上的三个 典型问题的微分方程中，给定的边界条件都有三种：,第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件 称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件,第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种 边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件,第三种是给定边界上待求函数及其方向导数的线性组合， 这种边界条件称为第三边界条件,我们总结一下这一小节的内容,描述物理过程的微分方程主要分为三个类型：椭圆型、双曲型、抛物型 有限元法特别适合求解椭圆型微分方程 边界条件主要有三种：第一边界条件（Direchlet条件、强制边界条件）、第二边界条
8、件（Neumann条件）和第三边界条件,思考题：,这小节中，三维热传导问题的微分方程和位势方程、以 及哈密顿算子 给出的都是笛卡尔坐标下的形式，试查阅 资料，并推导这些微分方程和算子在柱坐标和球坐标系 下的表达式。,拓展,前面我们看到了三个典型问题的微分方程，实际中遇到 的、使用的、包括我们自己在分析问题时建立的微分方 程是非常多的，为了便于研究，我们采用一种符号表示 法来表示微分方程，例如：,这个表达式代表任意一个微分方程，就像我们用f(x) 表示任意函数的道理一样,同样，边界条件我们也可以用 符号表达,例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程,并且有边界条件,这是一个微分方程和一个边界条件，单
9、个待求函数的情 况，这种表示方法也可以拓展到微分方程组，多个待求 函数和多个边界条件的情况。,可以用向量符号来表示待求解函数、微分方程组和边界 条件,带求解函数向量,微分方程组向量,边界条件向量,例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程,现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一 部分的边界上给定函数方向导数，这样,了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的， 因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的 一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这 时抽象表达是 就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种 微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式等效积分 形式,虽然是要推导一个
10、普遍规律，但为了便于说明，我们还 是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二 维拉普拉斯方程及其边界条件,这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域,在求解域内的一个小区域内 拉普拉斯方程也是成立的， 也就是,如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是 这样,设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的 面积等于这些小区域面积和,对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的,现在我们把它对所有小区域求和,现在我们把它对所有小区域求和,再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是,回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到,对于边界条件我们同样可以做类似的分析,上面的积分式成
11、立根本原因是拉普拉斯方程及其边界 条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待,现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立,对于边界条件也可以这样,按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式,这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就 是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过 来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就 成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形 式。我们可以把它推广到一般情况。,现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾 介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：,像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对 微分方程组中每一个微分方程，以下的积
12、分都是成立的,都是任意的函数，把这些积分加起来,对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分,上面这两个积分，我们可以写成矢量形式,这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了,这就是微分方程组等效积分形式的一般式，它与原微分 方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进行讨论 的情况一样。微分方程（组）的等效积分形式，是有限 元方法的理论基础之一，推导有限元求解方程的方法之 一就是从微分方程（组）的等效积分出发，由于与原微 分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。,上面分析中对等效积分中使用的任意函数以及微分 方程的解的性质没有做出任何限定，事实上，对它 们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效
13、积分 式中的被积函数具有可积性或者说使积分能够进行 计算,在这个积分式中， 要使这个积分存在，不能出现 无穷大的情况,要达到这个目的，就要对 做出一些限制,对 ，由于是我们可以选择的函数，那就选择那些 单值，且在求解域和求解域边界上可积分的函数就可以,对 ，虽然是待求解，我们也可以定性的给出它的一个 性质，它的选择要根据微分方程的阶数来选择，如果微 分方程（组）中最高微分阶次为n，那么待求解必然是一 个具有n-1阶连续的导数，这样的函数也称为具有Cn-1连续 性。这可以用于指导近似解或近似函数的选择。,微分方程的最高阶数对待求解提出了要求，但这种要求 有时过于苛刻，例如下面这个微分方程：,这个
14、微分方程的等效积分若可以计算，则要求待解函数 具有3阶连续偏导数。这个要求太过严格，实际上只要待 求解函数的二阶偏导数为常数，这个微分方程就已经得 到满足了，只需二阶连续导数就可以了，如果能有办法 降低偏微分方程的阶数，就可以降低对待求解函数连续 性的要求了。,从微分方程等效积分形式出发，如果要降低等效积分 中微分方程的阶数要怎么办呢？,通过分步积分的方法可以降低等效积分中微分方程的阶 数，代价是对 进行微分，等于说降低对待求函数 的要求，却提高了对 连续性的要求。,我们用一个一维问题的微分方程来说明这个问题。一个 微分方程,这个微分方程的等效积分形式,要求待求解函数具有一阶连续导数，现在对二
15、阶导数 部分进行分步积分,经过这样的分步积分之后，对待求函数的要求由原来 的具有一阶连续导数，下降为连续可导，而对函数v 的要求则有原来的单值可积提高为连续可导。对于二 维、三维的情形，分步积分可能复杂一些，但基本思 想是一致的，现在把这种思想拓展到一般情况。,类似之前用符号表达微分方程一样，我们把对 中每一个函数的微分运算用一个符号来表示，那么 等效积分分步积分后的表达式可以写为：,这就是等效积分的“弱”形式,对于二维和三维的情况，直接从分步积分的方法推导 等效积分的“弱”形式，可能有些困难，可以利用数 学分析中“格林公式”和“高斯公式”推导。,最后还有一个小问题，在等效积分“弱”形式的推导
16、 过程中，由于分步积分，一方面使得在积分项中待求 函数的最高微分阶数降低了，同时还产生了另外一项 例如，之前介绍的一维问题里面,第一项，就是由于分布积分而产生的，一般来说，这 一项往往可以合并掉或者消去，因此在等效积分“弱” 形式的一般表达式里，并没有专门写出这一项。,总结与思考,请大家理解用一般符号表示微分方程及边界条件的方法 请大家理解微分方程等效积分的概念，弄清楚为什么等效积分与微分方程及其边界条件是等效的 请牢记，微分方程及其边界条件的等效积分是有限元的重要理论基础 微分方程等效积分“弱”形式是从何而来，它与等效积分有什么关系？ 等效积分“弱”形式较之等效积分有什么好处？就是为什么要推导等效积分“弱”形式,例题： 二维导热微分方程及其边界条件的等效积分及等效积分 “弱”形式。,这个例子中，第一个边界条件，我们已经知道这是第一 边界条件或Direchlet边界条件，在有限元或其他基于等 效积分的近似解求解方法中，一般要事先选择待求函数 的近似函数，在选择这个近似函数时，就事先满足第一 边界条件了，相
