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1、第五章 弯曲应力 Chapter 5 Stress in Bending Members,5.1 纯弯曲的概念 5.2 弯曲正应力 5.3 弯曲切应力,第五章 弯曲应力,2/68,5.1 纯弯曲的概念,3/68,剪力FS是相切于横截面的内力系的合力； 弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力。,剪力FS只与横截面上的切应力t 有关； 弯矩M只与横截面上的正应力 s 有关。,5.1 纯弯曲的概念,4/68,AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲,CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。,5.1 纯弯曲的概念,5/68,5.2 弯曲
2、正应力,6/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,1 变形几何关系,5.2 弯曲正应力,7/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,1 变形几何关系,5.2 弯曲正应力,8/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,1 变形几何关系,变形前,变形后,变形后 mm nn 仍为直线，且垂直于aa,bb,弯曲变形的平面假设 变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。,5.2 弯曲正应力,9/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,1 变形几何关系,变形前,变形后,由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。,中间必有一层保持原长，这一层称为: 中性层,5
3、.2 弯曲正应力,10/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,1 变形几何关系,cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴,除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无挤压，即纵向纤维间无正应力。,5.2 弯曲正应力,11/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,1 变形几何关系,从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:,中性层位于OO,mm 变形前长度:,mm 变形后长度:,mm 位置的线应变:,表明: 距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 r 成反比,5.2 弯曲正应力,12/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,2 物理关系,纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或
4、者压缩，小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。,代入几何关系,得到,梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有,5.2 弯曲正应力,13/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,2 物理关系,这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。,5.2 弯曲正应力,14/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,3 静力关系,纯弯曲情况下有：,横截面对 z 轴的静矩等于零,z 轴（中性轴）通过截面形心,而,5.2 弯曲正应力,15/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,3 静力关系,纯弯曲情况下有：,横截面对 z
5、 轴和 y 轴的惯性积 Iyz (参见附录A)等于零,z 轴和 y 轴-形心主轴,而,5.2 弯曲正应力,16/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,3 静力关系,横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩,弯矩,5.2 弯曲正应力,17/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,3 静力关系,1 / r 为梁轴线变形后的曲率,EI 越大 1 / r 越小,EI 梁的抗弯刚度 / 弯曲刚度,5.2 弯曲正应力,18/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,纯弯梁横截面内正应力s 随高度 y 呈线性分布，以中性层为界，一侧受拉，另一侧受压。,受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正,5.2 弯
6、曲正应力,19/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。,取,Wz 抗弯截面系数 / 弯曲截面系数,单位 m3,5.2 弯曲正应力,20/68,5.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,实心矩形截面的抗弯截面系数,实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数,其他形状的截面及型钢几何性质可参见附录A及附录D,5.2 弯曲正应力,21/68,5.2.2 横力弯曲时的正应力,工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。 但弹性力学的分析结果表明
7、，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 l / h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%， 故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，,强度条件,5.2 弯曲正应力,22/68,5.2.2 横力弯曲时的正应力,对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为:,弯矩最大的截面并不一定是危险截面。,梁的最大正应力不仅和弯矩 M 有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。,5.2 弯曲正应力,23/68,【例5-1】,如图所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后尺寸如图，F = 150 kN。求梁危险截面
8、上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点 a 的正应力sa。,5.2 弯曲正应力,24/68,【例5-1】解,(1) 作梁的弯矩图,F = 150 kN,(2) 截面几何性质,查型钢表(附录D) 56a工字钢:,5.2 弯曲正应力,25/68,【例5-1】解,(3) 危险截面最大正应力,(4) 危险截面处点a的正应力,5.2 弯曲正应力,26/68,【例5-1】讨论,点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：,5.2 弯曲正应力,27/68,【例5-1】讨论,显然，梁的自重引起的最
9、大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载 F 所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重( q=1.041 kN/m )则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,5.2 弯曲正应力,28/68,【例5-2】,如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。 已知 q = 1kN/m，AB段直径 d1 = 280mm，BC段直径d2 = 320mm，轴的许用应力 s = 140MPa，试校核该轴的强度。,5.2 弯曲正应力,29/68,【例5-2】解,(1) 计算简图,(2) 求约束力并画弯矩图(略),5.2 弯曲正应力,30/68,【例5-2】解,(3) 跨中危险截面,超过许用应力s =
10、 140MPa，但仅相差1%不到，因此跨中满足梁的强度条件。,5.2 弯曲正应力,31/68,【例5-2】解,(4) 校核AB段强度,AB段最大弯矩发生在截面B,AB段强度符合要求，轴AD满足强度条件,5.2 弯曲正应力,32/68,【例5-3】,如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁的抗拉许用应力st=30MPa，抗压许用应力sc=120MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。试校核该梁的强度。,5.2 弯曲正应力,33/68,【例5-3】分析,对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时应分清抗拉和抗压
11、强度校核。,5.2 弯曲正应力,34/68,【例5-3】解,(1) 计算约束力，画弯矩图,F1=32kN，F2=12kN,5.2 弯曲正应力,35/68,【例5-3】解,(2) 计算截面几何性质,求形心C 的位置 （负面积法）,横截面的惯性矩 (注意平行移轴公式),5.2 弯曲正应力,36/68,【例5-3】解,(3) 对截面B,弯矩负值， 上侧受拉,5.2 弯曲正应力,37/68,【例5-3】解,(4) 对截面C,弯矩正值， 下侧受拉,5.2 弯曲正应力,38/68,【例5-3】解,全梁的最大拉应力位于截面C 下边缘,全梁的最大压应力位于截面B 下边缘,该梁满足强度条件,5.2 弯曲正应力,
12、39/68,讨论,截面 C 的弯矩不是最大,5.2 弯曲正应力,对于铸铁这样的抗拉强度和抗压强度不一样的材料:,但全梁的最大拉应力却发生在截面C的下边缘。,若中性轴不是对称轴，须确定梁的最大正弯矩和最大负弯矩，分别进行强度校核，而不是仅确定一个危险截面。,40/68,5.2.3 提高弯曲强度的措施,1 梁的合理截面,应使用较小的截面面积A获得较大的弯曲截面系数W 的截面,离中性轴较远的位置配置较多的材料以提高材料的利用率,5.2 弯曲正应力,41/68,5.2.3 提高弯曲强度的措施,1 梁的合理截面,对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。,5.2 弯曲正应力,4
13、2/68,5.2.3 提高弯曲强度的措施,2 变截面梁和等强度梁,变截面梁 最理想的状态是变截面梁内所有横截面上的最大正应力均相等。,满足上式设计出来的梁，各截面具有相同的强度，称为等强度梁,5.2 弯曲正应力,43/68,5.2.3 提高弯曲强度的措施,3 梁的合理受力,a. 合理布置载荷,5.2 弯曲正应力,44/68,5.2.3 提高弯曲强度的措施,3 梁的合理受力,b、 合理布置支座。,5.2 弯曲正应力,45/68,5.3 弯曲切应力,46/68,5.3.1 矩形截面梁,矩形截面梁的切应力公式推导,儒拉夫斯基假设,1）截面上任意一点的切应力 t 的方向和该截面上的剪力FS的方向平行。
14、,2）切应力沿宽度均匀分布，即t 的大小只与距离中性轴的距离有关。,5.3 弯曲切应力,47/68,5.3.1 矩形截面梁,取简支梁中dx的微段进行受力分析,若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。,弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同,按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。,5.3 弯曲切应力,48/68,5.3.1 矩形截面梁,为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力t 的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。,5.3 弯曲切应力,49/68,5.3.1 矩形截面梁,研究 x 方向的平衡,距中性轴为 y 处的横线以下部分面积A1对中性轴的静矩。,同
15、理可得,5.3 弯曲切应力,50/68,5.3.1 矩形截面梁,顶边分布的切应力的合力 dF的大小,由,5.3 弯曲切应力,51/68,5.3.1 矩形截面梁,整个横截面上的剪力,整个截面对中性轴的惯性矩,梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩的绝对值,所求切应力点的位置的梁截面宽度。,5.3 弯曲切应力,52/68,5.3.1 矩形截面梁,对于矩形截面梁，取,公式改写为,在截面的两端，y = h/2,在中性层，y =0,5.3 弯曲切应力,53/68,5.3.2 工字形截面梁,工字形截面由翼缘和腹板组成,上翼缘,下翼缘,腹 板,由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设
16、仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。,翼缘上的平行于y轴的切应力分量很小，通常不进行计算。,热轧工字钢，其 查附录D,5.3 弯曲切应力,54/68,5.3.3 切应力强度条件,对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上既有弯矩又有剪力。,梁除了保证正应力强度条件外，还需要满足切应力强度条件。,一般来说，梁的最大切应力发生在最大剪力所在截面的中性轴上,S*zmax 中性轴以下部分截面对中性轴的静矩,中性轴上各点的正应力为0，所以都是处于纯剪切状态,弯曲切应力强度条件：,5.3 弯曲切应力,55/68,【例5-4】,如图所示矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用，求梁内最大正应力和最大切应力之比。,5.3 弯曲切应力,56/68,【例5-4】解,由内力分析，梁的最大剪力和最大弯矩位于固定端截面,梁最大弯曲正应力,5.3 弯曲切应力,57/68,【例5-4】解,梁最大弯曲切应力,梁内最大正应力和最大切应力之比,由此可见，当梁的跨度 l 远大于其截面高度 h 时，梁的最大弯曲正应
