曲线曲面微分基础

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1、CAD技术及其应用,南京航空航天大学,授课教师：刘胜兰 Email ： meeslliu 办公室： 15号楼A204,第2-4讲 曲线曲面微分几何基础,2,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,点、坐标和矢量（1）,位置矢量,3,点、坐标和矢量（2）,方向矢量,4,矢 量 的 点 积,5,点积又称数性积,矢 量 的 叉 积,6,叉积又称是矢性积,面积,矢 量 参 数 方 程,7,参 数,参数方程：,矢量方程：,8,直线方程的表示方法,

2、直线的参数表示,9,圆 柱 螺 线 (1),10,（1） 平面圆周运动,（2） 直线运动,圆 柱 螺 线 (2),11,（3） 合成的结果,参 数 曲 面 实 例,12,曲面片的参数域,四边域曲面片,参数方程的好处,把一个矩形区域0,10,1映射成一个曲面片。正是因为这样的映射关系，我们才能通过图中的循环语句采集到曲面上的样点，进而通过矩阵型的样点绘制出曲面。 参数方程在曲面片和正方形区域之间建立起可逆映射，因此在曲面上的许多操作就可以转换到矩形区域内进行，这样可以使复杂的几何操作问题变得简单。,13,曲面片上的裁剪,参数方程也可以在曲线段与数轴上的直线段之间建立双射。因此，在采集曲线上的样点

3、时，首先在直线段上取参数，然后映射到曲线上。 曲线采用参数方程，会使曲线的表达形式变得直观。,14,参数方程的好处,用两个曲面的交表示曲线,曲线参数方程更直观,讲 解 提 纲,15,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,矢 函 数 求 导（1）,16,关于参数t 求导，有,对于矢函数：,T,曲 线 的 切 线 方 程,17,过P0(x0,y0,z0)或r0的切线方程：,为参数,18,曲 线 的 法 平 面 方 程,过P0(x0,y0,

4、z0)或r0的法平面方程：,19,法 线 和 法 平 面,若曲线是平面曲线，过其上一点M0的法线有且仅有一条；否则，这样的法线就有无数条，这些法线形成一个平面，称为法平面。,平 面 曲 线 的 等 距,对于已知曲线，沿上各点法线方向移动一个距离a，所得到的轨迹称为的等距线。,20,讲 解 提 纲,21,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,22,自 然 参 数 方 程,以曲线弧长为参数所定义的曲线的参数方程称为曲线的自然参数方程。弧长

5、称为自然参数。,弧长是不变量，不随坐标系的选取而改变。只要取好起点、方向、单位长度，就可以确定弧长的大小和增长方向。,23,自然参数方程与一般参数方程的联系,自然参数方程的切矢为单位矢,回顾参数方程求导,24,弧长公式,弧长的计算,求圆柱螺线的弧长。,圆柱螺线的参数方程为：,弧长为：,讲 解 提 纲,25,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,26,主法矢量和曲率（1）,采用自然参数方程曲线的切矢的导数， 可以进一步定义主法矢量 。,

6、主法矢与曲率（2）,27,主法矢量是在诸多的法矢量中的一个。,曲 率 的 几 何 意 义,28,曲 率 中心 和 曲 率 半 径,29,讲 解 提 纲,30,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,曲 线 论 基 本 公 式,31,T切矢，N法矢，B副法矢， k曲率，K挠率,32,弗 雷 内(Frenet) 标 架,如果取坐标系的原点和曲线上的动点重合，使整个坐标系随动点的运动而跟随运动，这种坐标系称为活动坐标系。,33,r“(t)位于

7、密切平面上,弧长参数和一般参数由下述方程联系：,上式表明,位于密切平面上,34,如何计算主法矢量,为了计算主法矢量N，可以按照如下过程进行:,曲 率 的 应 用,35,1. 已知曲线，求任意点的曲率。 2 . 在作曲线光顺处理时，作为判别曲线是否光 顺的准则。 3 . 已知曲率k(s)和边界条件，求解曲线的方程。 ,36,GW Forensic Analysis,曲 率 的 应 用 实 例 之一,37,From Corcoran,38,From mt_vernon,39,Comparison-Front Views,mt_vernon,corcoran,40,mt_vernon,corcora

8、n,Comparison-Symmetry Profiles,41,mt_vernon,corcoran,Comparison-Symmetry Profiles with Curvature,42,Comparison-Curvature Plots,mt_vernon,corcoran,Nose bridge,Nose tip,Nose bottom,43,Shrinkage Analysis,Where d is the Euclidean distance between the nose bridge and the nose bottom; l is the arc length

9、between the nose bridge and the nose bottom. The superscripts v and c represent Mt-Vernon and Corcoran respectively.,Shrinkage rate:,mt_vernon,corcoran,44,碎片拼合,曲率挠率应用实例之二,曲 率 的 应 用 实 例 之二(1),45,基于曲率的二维拼合,46,基于曲率和挠率的三维碎片拼合,47,CATIA中曲线曲率计算,曲率计算命令 Shape Freestyle Shape Analysis Porcupine Curvature Anal

10、ysis 对曲线进行光顺操作 Shape Generative Shape Design Operations Curve Smooth,48,光顺前曲率显示,光顺后曲率显示,讲 解 提 纲,49,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,50,参数曲线段拼接的连续阶(1),曲线段或者曲面片的拼接在CAD外形设计中经常遇到。学习曲线段的拼合的基础知识是非常有必要的。,51,参数曲线段拼接的连续阶(2),参数连续: C0, C1, , C,

11、Ck连续的含义是曲线的两侧直到k阶的单侧导数相等。,52,参数曲线段拼接的连续阶(3),这是两段曲线拼合的情况：,这就是Ck连续。, ,53,参数曲线段拼接的连续阶(4),Ck连续的要求看似简单，但是在CAD曲线段的拼接中则要求太高。,两个共线共端点的线段连一阶连续都不是,原因与参数的选择有关。,54,参数曲线段拼接的连续阶(5),同样的对象改变参数后就变得一阶连续了，这很不客观！,55,G1拼接,现在不需要一阶导数相等，只需要切方向共线，这就客观了！,56,G2拼接,曲率相等,57,直线与圆弧拼接,G1拼接不是G2拼接 直线的曲率为0，而圆弧的曲率则为它的半径的倒数,本 讲 小 结,什么是曲

12、线的矢量参数方程？什么是曲线的切线？如何定义曲线的法平面？ 什么是曲线的自然参数？ 什么是曲线的曲率？ 什么是活动坐标系？,58,59,课 后 习 题,1. 简述曲率的几何意义 2. 写出曲线 在参数t =1处的切线方程和法平面方程。,60,讲 解 提 纲,61,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,曲面方程类型,一般曲面的隐式方程和显式方程,参数矢量方程,双参数u, v 一般取0，1正方形域,曲面的参数矢量方程实例,例1:,例2:,

13、例3：,讲 解 提 纲,64,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,曲 面 上 的 曲 线,曲面上的等参线,当u=u0, 曲面上的曲线称为v线。 当v=v0, 曲面上的曲线称为u线。 u线和v线称为等参线（或坐标曲线）,曲面上的一般曲线,曲 面 上 的 曲 线,曲面上的曲线切矢,1. 曲面上等参线的切矢，即偏导矢,同样可以定义混合偏导矢、高阶偏导矢：,边界、角点、跨界导矢,曲面上的曲线切矢,2. 曲面上一般曲线的切矢,曲面上的法矢,3

14、. 曲面的法矢,对于p0点的法矢，先求沿u和 v坐标方向的两个切矢,曲面上的法矢,有了曲面的法矢，进而可以求曲面上某点的法线方程和切平面方程,过p0点的法线方程,过p0点的切平面方程,讲 解 提 纲,71,曲线微分几何基础 曲线的矢量参数方程 矢函数的导矢及其应用 曲线的自然参数方程 曲线曲率 曲线论基本公式 参数曲线段拼接的连续性 曲面微分几何基础 曲面的矢量参数方程 曲面上的曲线及其切矢 曲面曲率,曲面的曲率,过曲面上一点p，并包含曲面在该点的法矢n的平面PL与曲面的交线称为法截线。该平面法截线在p点的曲率称为曲面相对于PL的法曲率。,以n为轴转动平面PL，则相应的法曲率随之变化。,主曲率

15、、高斯曲率、平均曲率,法曲率的极值k1、 k2,主曲率,高斯曲率,平均曲率,曲面的曲率,悬链面的高斯曲率,手动工具的平均曲率图,曲面的曲率,Colored Central Profile,曲面的曲率,3. 曲面上点的类型划分,Besl通过高斯曲率K和平均曲率H的组合，将点附近的曲面形状分为八种基本特征类型,三角网格模型,曲率类型标识,区域分割,曲面的曲率,曲率分析,本讲小结,什么是曲面的等参数线？什么是曲面的偏导矢？ 如何定义曲面的法线？如何定义曲面的切平面？ 什么是曲面的法曲率？什么是曲面的高斯曲率？,课 后 习 题,一、从一点p0出发的两个单位矢量a和b，如右图所示。写出过p0点且包含矢量a和b的平面参数方程。,二、 求曲面 在 处的切平面方程。其中,；,；,；,三、写出曲面 在参数（1,1）处的切平面方程和法线方程。,你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。 你否定我的现在，我决定我的未来！ 你嘲笑我一无所有，不配去爱，我可怜你总是等待。 你可以轻视我们的年轻，我们会证明这是谁的时代。 梦想是注定孤独的旅行，路上少不了质疑和嘲笑， 但那又怎样？ 哪怕遍体鳞伤，也要活得漂亮！,