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1、1/29,第二节 数列的极限,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、数列极限的性质,五、小结 思考题,1,2/29,一、概念的引入,1.【割圆术】,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,【引例】,3/29,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,4/29,2.【截丈问题】,“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,公元前300年左右，中国古代思想家墨子语：,5/29,二、数列的定义,【例如】,6/29,【注意】,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,7/29,三、数列的极限,8/29,【问题1】,当
2、无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,【问题2】,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它，描述它。,通过上面演示实验的观察:,【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限.,“距离任意 小”,9/29,10/29,【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的.,1.【精确定义】,设xn为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n N 时，不等式 | xn -a |都成立,那么就称 a是数列xn 的极限,或者称数列xn 收敛于a, 记为,或,11/29,任意、给定二重性：,只有任意（小
3、）才能刻划出 xn “无限接近于a ”，而只有给定才能找到相应的N.,（但不是函数关系，因N不唯一）,【注意】,（5）.意义用一个有限数，概括出一个无限变化 的量(用常量研究变量)。,12/29,3.【几何解释】,等价解释,2.【 N 定义】,Any表任意(给),Exist表存在或至少有一个,【思考】认为“当nN时，有无穷多个点落在(a-,a+)内”是等价解释，正确吗？,13/29,四、数列极限的性质,1.【唯一性】,【定理1】每个收敛的数列只有一个极限.,【证】,注意以下证明都是已知极限存在时，利用的给定性来论证的,用反证法,14/29,【例5】,【证】,由定义,区间长度为1.,矛盾 【证完
4、】,15/29,2.【有界性】,【例如】,有界,无界,不可能同时位于长度为1的区间内.,16/29,(2)【定理2】收敛的数列必定有界.,【证】,由定义,【注意】,逆否命题必成立：无界列必定发散.,逆命题不成立；有界列不一定收敛.,数列有界是收敛的必要条件.,17/29,3.【保号性】,【定理3 】,【证明】,由数列极限定义，,有,从而,【证完】,18/29,【推论】,【证明】,以下用反证法,由定理3知,【证完】,19/29,4.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系）,【注意】,例如,（1）【定义】,20/29,（2）【定理4】收敛数列的任一子数列也收敛 且极限相同,【证】,【分析】 欲证,21/29,【证毕】,（寻找到K）,22/29,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,
