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1、一元函数微分学应用实验目的：1、理解并掌握用函数的导数求单调区间、凹凸区间、极值的方法。2、结合图形理解泰勒公式和中值定理的意义。实验内容：1、求函数的单调区间、凹凸区间、极值。2、求函数的泰勒公式，并绘制函数及其泰勒公式的图形。3、验证中值定理的正确性。3.1实验准备3.1.1 数学原理：1）利用导数求函数的单调区间设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在此区间为的增函数；如果在这个区间内，那么函数在此区间内为减函数.2）利用导数求函数的凹凸区间设函数在区间内的二阶导数存在，（1）若在内，则函数在区间内是凹的；（2）若在内，则函数在区间内是凹的.函数的拐点一定是的点或不存在的点
2、，但的点或不存在的点不一定是函数的拐点.3）利用导数求函数的极值若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如在两侧满足“左负右正” ，则是的极小值点，是极小值.4）泰勒公式对于正整数，若函数在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取是一定点，则对任意成立下式：其中，表示的阶导数，多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。5）中值定理【罗尔中值定理】如果函数满足以下条件：在闭区间上连续，在内可导，则至少存在一个，使得。【拉格朗日中值定理】若函数在区间满足以下条件：（1）在上可导；（2）在上连续；则必有
3、一，使得。【柯西（Cauchy）中值定理】设函数、满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）对任意，那么在内至少有一点，使得.3.1.2函数命令：1.求多项式方程的近似根的命令NSolve和NRoots命令NSolve的基本格式为：NSolvefx= =0,x。执行后得到多项式方程的所有根(包括复根)的近似值.命令NRoots的基本格式为：NRootsfx= =0,x,n。它同样给出方程所有根的近似值. 但是二者表示方法不同. 在命令NRoots的后面所添加的选项n, 要求在求根过程中保持n位有效数字；没有这个选项时, 默认的有效数字是16位.2.求一般方程的近似根的命令FindR
4、oot命令的基本格式为FindRootfx= =0,x,a,选项或者FindRootfx= =0,x,a,b,选项其中大括号中x是方程中的未知数, 而a和b是求近似根时所需要的初值. 执行后得到方程在初值a附近, 或者在初值a与b之间的一个根.方程的右端不必是0, 形如的方程也可以求根. 此外, 这个命令也可以求方程组的近似根. 此时需要用大括号将多个方程括起来, 同时也要给出各个未知数的初值. 例如,FindRootfx,y= =0,gx,y= =0,x,a,y,b由于这个命令需要初值, 应先作函数的图形, 确定方程有几个根, 以及根的大致位置, 或所在区间, 以分别输入初值求根.命令的主要
5、选项有:(1) 最大迭代次数:MaxIterations-n, 默认值是15.(2) 计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision-n, 默认值是16位.3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum命令的基本格式为FindMinimumfx,x,a, 选项执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值。这个命令的选项与FindRoot相同, 只是迭代次数的默认值是30.如果求函数的极大值的近似值, 可以对函数用这个命令. 不过, 正确的极大值是所得到的极小值的相反的数.使用此命令前, 也要先作函数的图形, 以确定极值的个数与初值.4.作平面图元的命令Graphics如果要
6、在平面上作点、圆、线段和多边形等图元, 可以直接用命令Graphics. 例如, 输入g1=GraphicsLine1,-1,6,8,Axes-True执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段.实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项. 如果要作出过已知点的折线, 只要把这些点的坐标组成的集合放在命令Line 之内即可. 如输入GraphicsLine0,0,1,2,3,-1,Axes-True输出为图.3.2设计实验3.2.1求函数的单调区间例1 求函数的单调区间.输入f1x_:=x3-2x+1;Plotf1x,f1 x,x,-4,4,PlotStyle-Gray
7、Level0.01,Dashing0.01则输出如图.图中的虚线是导函数的图形. 观察函数的增减与导函数的正负之间的关系.再输入Solvef1 x=0,x则输出即得到导函数的零点. 用这两个零点, 把导函数的定义域分为3个区间. 因为导函数连续, 在它的两个零点之间, 导函数保持相同符号. 因此, 只需在每个小区间上取一点计算导数值, 即可判定导数在该区间的正负, 从而得到函数的增减. 输入f1 -1f1 0f1 1输出为1,-2,1. 说明导函数在区间上分别取+,-和+. 因此函数在区间和上单调增加, 在区间上单调减少.3.2.2求函数的凹凸区间和拐点例2 求函数的凹凸区间和拐点.输入f3x
8、_:=1/(1+2x2);Plotf3x,f3 x,x,-3,3,PlotRange-5,2,PlotStyle-GrayLevel0.01,Dashing0.01输出如图, 其中虚线是函数的二阶导数. 观察二阶导数的正负与函数的凹凸之间的关系.再输入gen=Solvef3 x=0,x则输出即得到二阶导数等于0的点是 用例1中类似的方法知在和上二阶导数大于零, 曲线弧向上凹. 在上二阶导数小于零, 曲线弧向上凸.再输入f3x/.gen则输出3/4,3/4这说明函数在和的值都是3/4. 因此两个拐点分别是和.例3 已知函数在区间上画出函数的图形, 并找出所有的驻点和拐点.输入命令fx_ := x
9、6/2 - 2*x5 - 25*x4/2 + 60*x3 - 150*x2 - 180*x - 25;Plotfx, fx, fx, x, -6, 6, PlotStyle - GrayLevel0, Dashing0.01, RGBColor1, 0, 0NSolvefx = 0, xNSolvefx = 0, x则输出如图3.2.3求函数的极值例4 求函数的极值.输入f2x_:=x/(1+x2);Plotf2x,x,-10,10则输出如图.观察它的两个极值. 再输入Solvef2 x=0,x则输出x-1,x-1即驻点为用二阶导数判定极值, 输入f2 -1f2 1则输出1/2与-1/2. 因
10、此是极小值点, 是极大值点. 为了求出极值, 再输入f2-1f21输出-1/2与1/2. 即极小值为-1/2, 极大值为1/2.3.2.4 求极值的近似值例5 求函数的位于区间内的极值的近似值.输入f4x_:=2 (Sin2 x)2+5x*(Cosx/2)2/2;Plotf4x,x,0,Pi则输出如图.观察函数图形, 发现大约在附近有极小值, 在和有极大值. 用命令FindMinimum直接求极值的近似值. 输入FindMinimumf4x,x,1.5则输出1.94461,x-1.62391即同时得到极小值1.94461和极小值点1.62391. 再输入FindMinimum-f4x,x,0.
11、6FindMinimum-f4x,x,2.3则输出-3.73233,x-0.864194-2.95708,x-2.24489即得到函数的两个极小值和极小值点. 再转化成函数的极大值和极大值点.3.2.5泰勒公式与函数逼近例6 利用泰勒公式近似计算. 若要求截断误差问n应取多大?因为所以, 欲使 只要取即可. 输入命令fx_=NormalSeriesExpx,x,0,5TableNx,Expx,fx,Expx-fx,x,-1,1,0.4则输出下表结果例7 观察函数各阶泰勒展开的图形.(1) 固定观察阶数n的影响; 输入命令t = TableNormalSeriesSinx, x, 0, i, i
12、, 5, 15, 25;PrependTot, Sinx;Plott, x, 0, 5*Pi, PlotRange - -3, 3, PlotStyle - RGBColor0, 0, 0, RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1, Background - RGBColor0.753, 0.753, 0.753则输出如图.(2) 扩大显示区间范围, 以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数的逼近情况;输入命令t = TableNormalSeriesSinx, x, 0, i, i, 1, 19, 2;PrependTot, Sinx;PlotEvaluatet, x, -Pi, PiPlotEvaluatet, x, -Pi, Pi, AspectRatio - AutomaticPlotEvaluatet, x, -2 Pi, 2 Pi, AspectRatio - AutomaticPlotEvaluatet, x, -3 Pi, 2 Pi, AspectRatio - Automatic则分别输出相应图形.通过观察泰勒多项式图形与函数图形的重合与分离情况, 可以看到在范围内的9次泰勒
