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1、双曲线 及其标准方程,授课人：高美玲,1. 椭圆的定义,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0),思 考：平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？,数学实验：,1取一条拉链； 2如图把它固定在板上的两点F1、F2； 3 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的轨迹是什么？,如图(A)，,MF1-MF2=F2F=2a,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,|MF1-MF2 | = 2a （差的绝对值）,MF2-MF1=F1F=2a,双曲线在生活中 .,上海吴泾热电厂双曲线自然通风冷却塔,德国慕尼黑新宝马总部 多角形双曲线设计,双曲线交通结构缓解道路拥挤,
2、宇宙中彗星的运行轨迹,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数2a （小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。,双曲线的定义,(1) MF1MF2=2a,| MF1-MF2 | = 2a （差的绝对值）,(双曲线的右支),(双曲线的左支),(2) MF2MF1=2a,(双曲线), 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, F1F2=2c 焦距.,我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.,试分别讨论当常数等于F1F2和大于F1F2时点的轨迹.,当2a = 2c时,点M的轨迹是两条射线；,当2a 2c时,点M的轨迹不存在,思考：
3、若2a=0,则轨迹是什么？,线段F1F2的垂直平分线,求曲线方程的步骤：,双曲线的标准方程,1. 建系.,以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,2.设点,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式,MF1 - MF2=2a,4.化简,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,若建系时,焦点在y轴上呢?,标准方程,判断焦点的位置方法：,双曲线看正负，焦点跟着正的走,椭圆要看分母，焦点跟着大的走,把双曲线方程化成标准形式后， x2项的系数为正， 焦点在x轴上； y2项的系数为正， 焦点在y轴上.,补充练习1：写出下列椭圆或双曲线的焦点坐标, 并归纳
4、出确定焦点位置的方法：,F1(5,0)， F2(-5,0),F1(0,5)， F2(0,-5),F1(4,0)， F2(-4,0),F1(0,4)， F2(0,-4),把椭圆方程化成标准形式后， x2项的分母较大， 焦点在x轴上； y2项的分母较大，焦点在y轴上.,谁正谁对应,a,b无大小关系,变式3： 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P 到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.,解:,所以所求双曲线的标准方程为：,或,补充练习2：已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=_ , c =_ , b
5、 =_,(2) 双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点， 若 |PF1|=10,则|PF2|=_ 若|PF1|=3,则|PF2|=_,3,5,4,4或16,9,练习3：2y2-x2=2的焦点为 、焦距是 .,或,思考题,思考题,3.动圆经过A(5,0),且与定圆B(x+5)2+y2=49 外切,求动圆的圆心轨迹.,O,x,y,M(x,y),| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),双曲线定义及标准方程,1、双曲线及其焦点，焦距的定义，双曲线的标准方程以及方程中的a，b，c之间的关系,小结：,2、怎样的双曲线其方程是标准方程； 标准方程表
6、示的双曲线的特征,3、焦点位置的确定方法,谢谢,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,椭圆看大小，焦点跟着大的跑,双曲线看正负，焦点跟着正的去,小结：,写出适合下列条件的双曲线的标准方程,练习,1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5) 3.a=4,过点(1, ),1. 方程mx2-my2=n中mn0，则其表示焦点在 轴上的 .,双曲线,2、 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线，则k .,
7、(-1, 1),y,练习,表示椭圆时,表示双曲线时,补充练习： 若k 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2= 1 - k2 所表示的曲线是,A、焦点在x轴上的椭圆,C、焦点在y轴上的椭圆,B、焦点在y轴上的双曲线,D、焦点在x轴上的双曲线,补充练习： 已知方程kx2+y2=4(kR),讨论 k取不同实数时方程所表示的曲线.,(1) K=0时,直线y=2. (2) k=1时,是x2+y2=4,圆. (3)01时,是焦点在y轴上的椭圆. (5)k0时,焦点在y 轴上的双曲线.,1. 双曲线 的焦点坐标是 .,巩固练习：,2. 双曲线 的焦距是6，则k= .,6,3. 若方程 表示双曲线，
8、求实数k的 取值范围.,-25,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,例4、一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s . （1）爆炸点应在什么样的曲线上？ （2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程 .,解：,（1）由A、B两处听到爆炸声的时间差为2 s ，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为2v（v为声速），因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。 因为爆炸点离A处
9、比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上。,3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 .,-2-1,1. 过双曲线 的焦点且垂直x轴的弦的长度 为 .,已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与 椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程.,四、练习与习题：,3、已知F1、F2为 双曲线 的焦点，弦MN过F1且M、 N在同一支上，若|MN|=7， 求MF2N的周长.,2、已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点F1、F2，P为两条曲线的交点，求 |PF1|PF2|的值.,4、已知双曲线16x2-9y2=144 求焦点的坐标； 设P为双曲线上一点，且|PF1|PF2|=32，求 ； *设P为双曲线上一点，且 F1PF2=120，求 .,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,问题,确定焦点位置：椭圆看分母大小，双曲线看系数正负。,例2:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.,解:,O,x,y,M(x,y),略解:,例题与习题,
