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1、课 程 设 计 报 告 课程名称： 数值分析 题 目： 用三次样条插值设计中英文签名 院 系： 专 业： 班 级： 学 号： 姓 名： 时 间： 目 录1、理论分析（含问题分析，理论依据，求解对策等）；2、方法详解（含推导、求解、分析、程序框图等）；3、应用实例（含程序清单、计算结果输出、图形演示等）；4、效果分析（含对不同方法间的图形、数值等多方位的对比分析，对所得结果的合理解释等）一、 理论分析：1. 问题分析 （1）设计自己的英文签名，给出一组数据点，用三次样条曲线画出所设计的英文签名的字体。(2)设计你的草体汉字签名,给出一组数据点,分别用三次样条曲线画出所设计的中文签字的字体. （3
2、）如果设计出的三次样条不满意，怎么改进算法？2.2 分析思想 要设计出英（中）文签名，首先、要获得与自己英（中）文签名相似的一组数据点，最好这组数据点的获取可因名字的改变而改变且简单易行，以适应不同的签名；其次、要选用合适的算法，才能设计出较美观的签名，问题要求用三次样条插值做，若效果不满意，改进时可选择其他算法；最后、选择合适数学工具和备用改进算法，合适的数学工具能大大简化我们的工作量，获得满意结果。备用的改进算法的提出可以引导我们在下面的课程设计中注意基本算法的不足，多思考，勤探究。2. 理论依据 2.1 交互式界面 交互式界面即窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象（Objects）构成
3、的一个用户界面。用户通过一定的方法（如鼠标或键盘）选择、激活这些图形对象，使计算机产生某种动作或变化，比如实现获取数据、计算、绘图等。要使数据点可因名字的改变而改变且简单易行，以适应不同的签名，可采用交互式界面进行操作。如我们可以用鼠标点击获取名字大致的数据点，显然，不同名字可以实现能得到不同数据点。在MATLAB中，可以用ginput()函数轻松实现这一功能。 2.2 三次样条插值算法 在区间a,b上给定有n+1个节点的分割:a=xxx=b。若在a,b上定义的函数s(x)满足：(1)在子区间x,x上s(x)是最高为三次的多项式，i=0，1， n-1；(2)在a,b上s(x)是二阶连续可微函数
4、，即s(x)Ca.b。则称s(x)为a,b上关于分割的三次样条函数。S(x)对应的曲线称为三次样条曲线。若s（x）还满足(3)S(x)=y=f,i=0,1,n则称s(x)为a,b上关于分割的三次样条插值函数，f(x)称为被插函数。三次样条插值函数对应的曲线称为三次样条插值曲线。我们知道分段低次插值的优点是具有收敛性与稳定性，缺点是光滑性较差，不能满足实际需要.例如高速飞机的机翼形线、船体放样形值线、精密机械加工等都要求有二阶光滑度，即二阶导数连续，通常三次样条(Spline)函数即可满足要求。所以对于签名，三次样条插值算法完全能够在给定的一组数据点下实现签名效果。3. 求解对策 对策 问题 M
5、ATLAB7.0选用合适的数学工具双三次插值算法选用改进算法三次样条插值算法：可产生二阶光滑度，即二阶导数连续签名图样选用合适的算法采用交互式界面进行操作，用鼠标点击获取名字大致的数据点获得与签名相似的一组数据点，最好可因名字的改变而改变实现英（中）文签名二、 算法设计（推导、求解）：2.1、三次样条插值函数的定义样条（Spline）是绘图员用来描绘光滑曲线的均匀有弹性的细长木条（或有机玻璃条）。用压铁将木条加以固定使它通过各型值点，最后沿着这根木条画出光滑曲线，作用与曲线板和云形规相似。我们称这条光滑的曲线为样条曲线，样条曲线对应的函数称为样条函数。它是连续的光滑的，具有连续变化的曲率，实际
6、上就是一条三次样条曲线。定义：在区间a,b上给定有n+1个节点的分割:a=xxx=b。若在a,b上定义的函数s(x)满足：(1)在子区间x,x上s(x)是最高为三次的多项式，i=0，1， n-1；(2)在a,b上s(x)是二阶连续可微函数，即s(x)Ca.b。则称s(x)为a,b上关于分割的三次样条函数。S(x)对应的曲线称为三次样条曲线。若s（x）还满足(3)S(x)=y=f,i=0,1,n则称s(x)为a,b上关于分割的三次样条插值函数，f(x)称为被插函数。三次样条插值函数对应的曲线称为三次样条插值曲线。同时我们还可以通过计算三次样条函数s(x)在节点上的一阶导数m=s(x)或二阶导数M
7、=s(x),i=0,1,n的值来求过型值点。(x,y),i=0,1,n的三次样条函数。对应地可以导出称之为m关系式和关系式，它们分别是关于m和M的代数方程组。2.2三次样条插值算法推导、求解记h=x,i=0,1,n-1。根据三次样条函数的定义，当x x,x时，它是一个三次多项式，所以s(x)是线性函数，可以表示为： s(x)= M+ M从x到x对其积分两次，得s(x)= - M+ M+As (x)= M+ M+ A(x-x)+B 这里A，B是积分常数，可由插值条件，即s(x)= y，s(x)=y,来确定。 解得: 则s(x),s(x)在xx上可表示为：S(x)= M+ M+ (x-x)+y-M
8、s(x)=-M+M+-由上式易见，若M(i=0,1,n)确定后，则三次样条插值函数s(x)就完全确定了。在上，由4.5.9得由此可得： 由于s(x)在x点处应是连续函数,即s(x)=s(x) i=1,2,n-1,得 令 得 ， i=1,2,n-1这是一个含有n+1个未知量M,M,M的n-1个方程组成的线性方程组，我们称它为M关系式。记m,根据Hermite插值，在，上由，,可得： 它在的右极限和的左极限分别为： 得 由 ，i=1，2，,n-1,得 两边乘以 ，并记 得 ， = 1,2,n-1这是一个含有n+1个未知量,的n-1个方程组成的线性方程组，我们称它为m关系式。注：无论是M关系式还是m
9、关系式，都应该补充2个条件才能把它的解唯一地确定下来，这就是我们所要讨论的端点约束条件。样条插值函数的端点条件有多种形式，主要根据实际问题来确定。从物理观点看，它们对应在曲线两端给出的约束类型。常用的端点约束条件有：自由端点条件，夹持端点条件，周期端点条件。下面我们主要来讨论夹持端点条件来求解结果。在端点给定的一阶导数值，即 ， 这里，为已知数，将它们代入关系式得 =这是关于n-1个未知量,由n-1个方程组成的线性方程组，根据其系数矩阵严格对角占优，方程组存在唯一解。关于M关系式，只要注意到 记 ， ，和M关系式联立得： = (20)这是一个关于n+1未知量,，由n+1个方程组成的线性方程组，
10、其系数矩阵为三角严格对角占优矩阵，非奇异，上20式存在唯一解。 下面我们来分析一下样条函数的收敛性问题：定理设在闭区间a,b上给定了一个分割序列 ：记 中子区间的最大最小长度分别为和即 = 设在区间上有4阶连续导数，且 对给定的分割序列成立 设为上的的样条函数，且，i=0,1,n, 则对一切成立 | ， i= 0，1，2，3其中，和无关，且，该定理表明，只要分割是比较均匀的，则样条插值函数序列及其一至三阶导函数均收敛于被插函数及其对应阶导函数。误差估计问题： 设，S是在上关于剖分的满足I型边界条件的三次样条插值函数，则有估计式 其中，。证明：设为上关于节点的分段三次ermite插值多项式， j
11、=0,1,n。在子区间(j=0,1,n-1)上，其中，为三次Hermite插值的基函数。对于，利用三次样条插值函数表达式得 = 利用三次Hermite插值多项式的余项估计有 ， 。 利用引理，当有 由区间的任意性，即可以得出 由此说明了三次样条插值函数S，当时，一致收敛于被插值函数三、 程序设计（分析、程序框图）：本实验中所有程序均是在MATLAB7.0环境下实现。3.1 ginput()程序分析 本实验利用两种方法获取签名数据点（以下简称点），由于MATLAB7.0中自带的交互式函数ginput()在鼠标单击取点时无法显示该点位置，为了能够清晰地知道当前和已经取过的点的位置，我才用了两种取点方法：方法1：对MATLAB7.0中自带的交互式函数ginput()进行了修正 通过edit ginput，打开ginput()函数，在位置136
