数学建模2007全国一等奖讲解

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1、第5章 关于中国人口预测问题的模型（2007A）5.1 中国人口增长预测 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些都影响着中国人口的增长。2007年年初发布的国家人口发展战略研究报告（附录1）还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题也有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（

2、也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优点与不足之处。 附录1国家人口发展战略研究报告（略） 附录2人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明（略）5.2 问题分析与建模思路概述 人口预测是一个历史悠久的问题，同时也是一个非常现实、重要的问题，时至今日，人们依然可以在新闻媒体上看到人口发展的新特点，在各种学术刊物上读到最新的研究成果。所以选择本问题的参赛队，首先面临的一个问题是：如找到创新的突破点？ 各种数学建模教材上已有的人口模型，通常考虑的是人口基数，性别结构，年龄结构，出生死亡等因素对人口增

3、加的影响，这些因素都可以作为后续研究的基础，只是还要考虑本问题中提到的一些新情况，包括老龄化、出生人口性别比的现实情况和未来预期，乡村人口城镇化带来的冲击等。2007年国家人口发展战略研究报告中还提到了其他新情况，设法科学地区分轻重，将这些新情况反映在模型中，就是参赛对的创新点。 可以用来做长期预测的数学方法种类比较多，不过大致可以分为确定性和不确定性两大类。确定性方法不外乎随时间或空间演变的微分方程、差分方程；不确定性方法则可以考虑马尔可夫链等随机过程方法，或者将相关因素的影响模糊化，建立模糊微分、差分方程模型。当然，完全基于数据建模也是可行的，比如统计回归、时间序列、灰色预测、神经网络等，

4、不过完全基于数据的建模方法来做长期的预测不太合适，如果多种建模方法结合使用，效果会好一些。 具体建模时，首先需要对数据做一些分析。应该注意到城镇和农村在生育率和新生人口性别比方面有较大差异，因此建模时有必要区别对待；不同年龄段的死亡率也有明显差异，03岁婴幼儿死亡率较高，50岁以上人口死亡率不断升高，夹在中间年龄的人口死亡率较小而且变化不大；中国人口统计年鉴中的统计方式与国家人口发展战略研究报告略有差异，需要对数据进行加工；如果发现异常数据，需要进行有理有据的进行修正、增删。 建立常微分方程（组）模型是比较常规的思路，主要是如何将本问题中提到的中国人口新特征体现在模型中。不过即使是常规思路，也

5、有很多创新的空间。比如预测2040年的人口增长时，20002020年左右新生人口的数量、性别比将发挥主要作用，这种情况反映在模型中，需要考虑所谓的“时滞”现象，而考虑时滞现象的微分、差分方程理论研究已经积累了大量成果，完全可以应用在模型中。即使短时间内没有信心掌握相关的理论，也完全可以直接求数值解，对问题做出解答。最后，长期以来，许多国内外学者都曾经做过中国人口预测，中国政府也会在一定时间发布人口统计结果和预测，参赛队得到的结果肯定会与这些不同来源的研究、预测存在差异，是否能够正确认识这些差异，并给出合理解释，也是参赛队能力的体现。5.3 参赛论文关于中国人口预测问题的模型 作者：赵鹏飞 伍斌

6、 高志丰指导老师：李学文获奖情况：2007年全国数学建模竞赛 摘要 本文针对我国的人口特点，引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用，根据以上特点对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型。首先，我们根据所给数据建立了三个反映上述特点的子模型，对于城镇化过程，我们利用logistic曲线建立了一个城镇化模型用以预测城镇化水平，对于出生婴儿的性别差异，我们假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则，即婴儿性别比恢复自然值，并拟和了婴儿性别比发展规律；最后为了预测老龄化的过程，我们中将人口分为若干段，各段人口构成了一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的传

7、递作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡，并由此可以得到反映人口结构的老龄化系数，社会抚养比及适龄劳动人口比，最后为了提高LESLIE控制调节的灵敏度，我们进一步对模型进行了改进，即揉和进上述特点以后，LESLIE矩阵成为一个可以随时间可以自动改变的智能矩阵，这样预测出的结果更加准确，人口系统最终能达到平衡。最后对模型的优缺点进行评价，指出了人口预测模型中的不足，并提出了更合理预测中国人口增长的建议。 关键词：反馈控制 逻辑斯蒂曲线 中国人口增长 生育率 男女性别比 5.3.1 问题的重述 中国是世界上人口最多的发展中国家.在科学技术和生产力飞速发展的同时，人口问题始终是制约我国发展的关

8、键因素之一.因此，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育. 经过30年的艰苦努力，中国在经济还不发达的情况下，有效地控制了人口过快增长，有力地促进了中国综合国力的提高、社会的进步和人民生活的改善.近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点影响着中国人口的增长.例如，人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，2007年初发布的国家人口发展战略研究报告（附录1）做出了进一布的分析.附录2是从中国人口统计年鉴上收集到的关于中国人口问题的部分数据.关于中国人口问题已有多方面的研究,由于其已严重制约了中国经济的发展,所以对中国人口做出分析和预测始终是一个重要

9、问题. 下面考虑两个问题： （1）利用附录2中有关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型; （2）利用所求模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型中的优缺点. 5.3.2 问题的分析 我们首先对现有数据进行拟合。从拟和得到的图形发现我国城镇化的过程与物种生长曲线极其类似，这可以了解为物种生长过程与城镇化同样大致经历三个过程，即缓慢增长期，快速增长期，饱和期，我们可以利用logistic曲线来模拟。在拟和出生婴儿性别差异时，我们按照实际情况假设1950年以前婴儿性别比为自比指标比例。并且假设我国进入中等发达国

10、家后，基本不会再有婴儿性别选则。即婴儿性别比恢复自然值。并使用了这些数据拟和了符合实际情况的婴儿性别比规律。为了反映老龄化的影响，我们中将人口分为若干段，各段人口构成一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡。然后考虑到我国人口增长的特点，即老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些因素通过影响出生率和死亡率中而最终影响人口的增长。考虑到海外人口所占比例很小，根据自动控制的原理，我们可以根据以上因素对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型，假设我国人口系统是一个能控制且稳定系统，即从长期来看我国人口各项指标将达到稳定，并引入控制

11、理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用。 5.3.3 模型假设及符号规定 1.模型的假设 （1）为方便计算，记2001年为第1年； （2）表中数据客观真实，具有可靠性； （3）各个年龄的城市乡镇人口比，性别比均与整体的相应比例一致； （4）假设中国人口是一个封闭的系统，没有人口的迁入与迁出； （5）假设在没有政策性变化时（如限制生育年龄，或允许多育），育龄妇女的生育率关于年龄的相对分布是稳定的； （6）假设在未来的很长一段时间内，医学上没有大的革命，死亡率的变化将很小，我们认为其不变. 2 .符号规定18 ：初始时刻第个年龄组的女性的人数； ：第个年龄组的女性在时刻

12、的人数， ：第年不同类型人的生育率的权值； ：第年龄组中平均每人每年生育并生存下来的人数； ：在时间时年龄为的人的死亡率； ：第年龄组中到时生存下来并进入年龄组的人的比例 ； ：第年的第种类型的妇女人口(分别代表城市、镇、农村的妇女)。 5.3.4 模型的建立与求解 1.城镇化模型 对于乡村人口城镇化问题，我们通过城镇人口占总人口的比率预测城镇人口比率，从而得到城镇化的规律。对于城镇人口比例趋势，我们使用曲线来拟合预测。假设城镇人口的比例为，为关于时间的函数，根据logistic模型，有城镇人口比率增长的速度与成比例。这里的，为城镇人口能够达到的比例上限。当很小时，差不多近似等于，所以城镇人口

13、比例的增长速度与成比例的连续增长，但是，当大于时，小于，城镇人口比例增长速度逐渐减慢。根据以上的假定，城镇人口比例增长的速度为解微分方程得： 利用已知数据用Origin软件拟合函数，得到， ，中国城市人口可以达到的比例上限为：，与其他机构预测的值接近并符合真实情况。因此我们认为我们拟合的函数很好的反应了真实情况。则有表5-1 城市人口比例预测值年份20062007200820092010城市人口比例0.4629970.4799010.496190.5118120.526724年份20112012201320142015城市人口比例0.5408950.5543050.5669450.578813

14、0.589917年份20162017201820192020城市人口比例0.6002720.60990.6188240.6270750.634685年份20212022202320242025城市人口比例0.6416870.6481170.654010.6594010.664325年份20262027202820292030城市人口比例0.6688170.6729070.6766290.6800110.683081年份20312032203320342035城市人口比例0.6858650.6883880.6906730.692740.69461年份20362037203820392040城市人口比例0.69630.6978260.6992050.7004490.701572年份20412042204320442045城市人口比例0.7025840.7034970.704320.7050620.705731年份20462047204820492050城市人口比例0.7063330.7068750.7073630.7078030.708199年份20512052205320542055城市人口比例0.7085550.7088760.7091640.7094240.709658年份2056205720582059