数字信号处理基础

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1、第二章 数字信号处理基础 对采集到的信号进行处理，除了传统的时域分析之外，各种各样的变换发挥了重要作用，从最熟悉的傅立叶（ Fourier）变换，到现在的小波（ wavelet）变换，以及主成分分析（ principal component analysis），独立成分分析（ independent component analysis）和稀疏成分分析（ sparse component analysis）。每一种变换都有其独特的视野，为信号的分析处理提供了不同的思路。这里我们将介绍最基本的一种变换，在线性时不变系统中广泛使用的傅立叶变换以及频谱分析，本章还是以离散数据为主，介绍离散傅立叶变换

2、（ DFT）的有关知识。 第一节 傅立叶变换及其意义（Fouri er Transform） 傅立叶分析方法的建立有过一段漫长的历史，涉及到很多人的工作和不同物理现象的研究。在近代欧拉、伯努利、傅立叶、狄里赫利等学者的努力完善下，建立了傅立叶分析方法，他们主要是集中在连续时间信号的分析问题上。与此同时，对于离散时间信号的傅立叶分析方法却有着不同的发展过程，用于处理离散数据以产生数值近似的有关内插、积分和微分等方面的公式早在 17 世纪的牛顿时代就被研究过，从事时间序列的研究曾吸引了 18、 19 世纪包括高斯在内的许多著名科学家，从而为离散傅立叶变换提供了数学基础。 在 20 世纪 60 年代

3、中期，库利（ Cooley）和图基（ Tukey）独立发表了一篇论文，也就是快速傅立叶变换算法（ FFT）。 FFT 是非常高效的算法，使得计算变换所需要的时间减少了几个数量级，由于计算机速度的迅速提高，越来越多的连续时间信号被离散化，然后用计算机进行处理。 2.1.1 傅立叶变换的意义及各种变换对 利用“三角函数和”的概念来描述周期性过程至少可以追溯到古代巴比伦人时代，三角函数和也即是成谐波关系的正弦和余弦或周期复指数函数的和。这些成谐波关系的复指数函数在 LTI 系统分析中变得十分有用：如果一个 LTI 系统的输入可以表示为周期复指数的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式，并且输出线性组

4、合中的加权系数与输入中对应的系数有关，如图 2.1 所示， 表示输入或者激励， 表示系统输出或者响应， 表)(nx )(ny )(jweH示系统单位脉冲响应 的频率响应。 )(nh)(nx )(ny)(jweHnjwe0 njwjweeH00)()(nx )(ny)(jweHnjwkkkeAnjwjwkkkkeeHA )(图 2.1 成谐波关系的复指数信号的响应 在研究 LTI 系统时，复指数信号的重要性就体现在图 2.1 中：一个 LTI 系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是乘了一个复振幅因子 ，频率并没有发生变化，由于是复数因子，就有了幅度和相位或者实部和虚部的变化。

5、)(kjweH表 2.1 简要地综合了连续和离散时间信号的傅立叶级数和傅立叶变换表达式，有时候为了统一，也把周期信号的傅立叶级数表示利用单位脉冲序列或单位冲激函数表示成傅立叶变换。 表 2.1 各种信号的傅立叶级数和傅立叶变换对 傅立叶级数 傅立叶变换 +=kktjwkeatx0)(时域是连续周期的 += dtejwXtxjwt)(21)(时域是连续非周期的 时域 频域 =00)(10TktjwkdtetxTa 频域是离散非周期的 += dtetxjwXjwt)()( 频域是连续非周期的 =)()/2()(NknNjkkeanx时域是离散周期的 =2)(21)( dweeXnxjwnjw时域是

6、离散非周期的 时域 频域 =)()/2()(1NnnNjkkenxNa频域是离散周期的 +=njwnjwenxeX )()( 频域是连续周期的 从表 2.1 可以发现傅立叶变换在 LTI 系统分析中的思想，就是把一个无论多复杂的输入信号分解成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能通过图 2.1 的关系表达成相同复指数信号的线性组合，并且在输出中的每一个频率的复指数函数上乘以系统在那个频率的频率响应值。系数 称为信号 傅立叶级数系数或频谱系数或线谱等； 称为 的频谱； 也称为 的频谱。作为线性组合所取的形式从求和过渡到积分，就是利用傅立叶的思想，一个非周期信号可以看成是周期无限长的周期信号，当

7、周期增加时，基频越小，成谐波关系的各分量在频率上越来越近，当周期变得无穷大时，离散的线谱就形成了一个连续谱，也就从求和变成了积分。 ka )(tx )( jwX )(tx)(jweX )(nx0w从表 2.1 中时域和频域的关系还能得到如下规律：时域的离散必然导致频域的周期化，频域的离散必然导致时域的周期化。简单的说，就是一个域离散必然另外一个域周期，相反的，如果一个域连续必然另外一个域是非周期的。掌握了这个规律，我们很快就能判断出一个信号在频域的表现形式。 2.1.2 离散傅立叶变换（ DFT） 表 2.1 中给的四对傅立叶级数和傅立叶变换对在理论上有重要的意义，但在实际中往往难以实现，尤其

8、在数字计算机上实现是不太现实的，例如计算机无法处理连续的周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立叶变换，简称（ DFT） 。离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便同时物理意义也比较清晰的是从离散时间傅立叶变换（ DTFT）和从离散傅立叶级数（ DFS）入手。 DTFT 变换为： ，时域是离散非周期的，但频域是连续周期的，对连续变量均匀采样，也就是对单位圆进行 N 等分，取一个周期的结果即得：+=njwnjwenxeX )()( w10,)()(1022=NkenxeXNnnkNjkNwjw，这样频谱变量由连续量 变成了离散变量。从 DFS

9、到 DFT 更加明显， DFS 对应的时域和频域都是离散周期信号，可以在这两个域中分别取它们的主值，也就是限定在一个周期内，这样就得到了 DFT 变换对。具体给出如下： w10,)()()(102=NkenxnxDFTkXNnknNj(2-1) 10,)(1)()(102=NnekXNkXIDFTnxNknkNj(2-2) 式（ 2 1）称为正变换，式（ 2 2）称为反变换。注意这一对变换对中信号 的长)(nx度为 N，它的频谱 点长也为 N，则 和 具有唯一的映射对应关系。也有可能给一个 7 点的时间序列，求该信号的四点 DFT 或者 10 点 DFT，明显前者求得的频谱不能真实反映出信号，

10、而后者不存在混叠现象，能反映出信号的频谱。因此在求 DFT 时要注意到底是求多少点长的 DFT，只有时域样点数小于或等于频域样点数，频谱才是真实的反映。 )(kX )(nx )(kX【例 2-1】试计算常用信号 和 )(nRN)()4cos( nRnNN的 N 点 DFT。 解： 表示一个矩形窗，在滤波器设计中经常使用，我们在对一段未知信号进行分析时的截取实际上就相当于乘了一个矩形窗，在实际分析信号时要注意矩形窗对信号频谱的影响。 )(nRN10),(1,2,1,0110,)()(221021=NkkNNkeekNenRkXkNjkNNjNnknNjNL=+=+=10)2(210)2(2102

11、22121)4cos()(NnknNjNnknNjNnknNjeeenNkX与 的求法类似，可得： )(1kX10),2()2(221)2(2)(10)2(22+=+=+NkNkkNekNkXNnNknNj为了表示方便，一般用符合 来表示正交序列集中的基NWNje2，即 NWNje2。因此离散傅立叶变换对也可表示为： 10,)()()(10=NkWnxnxDFTkXNnnkN(2-3) 10,)(1)()(10=NnWkXNkXIDFTnxNknkN(2-4) NW 具有下列性质： 周期性， rNnNnNWW+=共轭对称性， = )(nNnNWW可约性， 或 nrNrnNWW/=nNrnrNW

12、W =以上性质很容易证明，它们是计算傅立叶变换中非常有用的特性。 第二节 傅立叶变换的性质（Properties of the Fourier Transform） 离散傅立叶变换是有限长序列的 z 变换在单位圆上抽样的结果，因而很多性质和序列傅立叶变换性质类似，但由于 DFT 又可以从离散傅立叶级数引入，因而隐含了周期性，所以又有些不同。 设序列 和 都是 N 点长，它们对应的 N 点 DFT 分别为 和 ，来讨论傅立叶变换的一些性质。 )(nx )(ny )(kX )(kY1. 线性 10),()()()( +=+ NkkbYkaXnbynaxDFT (2-11) a， b 为任意常数。如

13、果两个序列的长度不同，则短的序列补零使得两个序列长度相同即可。 2. 时间翻转特性 )()( kNXnNxDFT = (2-12) 证明： =NmkNmNNmkmNNNnnkNWmxWmxWnNxnNxDFT1)(1)(10)()()()(这里需要补充 ，因而有)0()( xNx = )()( kNXnNxDFT = 3. 序列的循环移位 序列的循环移位在第六章详细介绍过，这里简单给出循环移位的定义： )()()( nRmnxnfNN+= (2-13) 上式表示的含义为，先将序列 以 N 为周期进行周期性延拓，得到 ，然后再进行移位，得到)(nx )(nxNmnxmnx )()(+=+ ，最后

14、取主值序列，得到的 仍然是一个 N 点长的序列。循环移位后的 DFT 为： )(nf)()()()()(10kXWnRWmnxnfDFTkFmkNNnNnkNN=+=)()()()()()()(10kXWkXWkRmnxDFSkRWmnxkRmkNmkNNNNnnkNN=+=+=因此，序列循环移位后的 DFT 为： )()( kXWkFmkN= (2-14) 即序列的循环移位相当于频域的相移。根据时域和频域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制： )()()( kRmkXIDFTnxWNNmnN+= (2-15) 4. 循环卷积 第六章介绍了循环卷积的计算，这里考虑时域循环卷积结果和频域的关系。设 )()()( kYkXkF = 则有 =10)()()()(NmNNnRmnymxnf (2-16) 证明： =10)()(1)()()(NknkNWkYkXNkYkXIDFTnf =1010)()(1NknkNNmmkNWkYWmxN=10)(10)(1)(NmkmnNNkWkYNmx =10)()()(NmNNnRmnymx (2-17) 通常把式（ 9 16）称为循环卷积，它的结果仍然是 N 点长的序列，循环卷积交换序列的先后次序得到的结果都相同。时域和频域的对偶关系，可以得到频域循环卷积对应时域相乘： =10)()()(1)()(NlNNkRlkYlXNnynxDFT