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1、第5讲：椭圆一、椭圆及其方程 1、椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。其中：这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点的距离叫做焦距(记为2c)注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程：（0） （0）注意：(1)只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2)在椭圆的两种标准方程中，都有和；(3)已知方程判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上(4)当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，3、求椭圆标准方程的常用方法： (1)待定
2、系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。即：主要步骤是先定位，再定量；注：焦点所在坐标轴的位置不确定时设椭圆标准方程要分两种情形；为了计算方便，有时也可设方程为mx2+ny2=1(m0，n0，mn)。 (2)定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。例2 .已知椭圆的一个焦点为（0，2）求= 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故例3.已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据
3、题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为例4.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解：设所求椭圆方程为(，)由和两点在椭圆上可得即所以，故所求的椭圆方程为例5.已知方程表示椭圆，求的取值范围解：由得，且满足条件的的取值范围是，且说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值
4、范围是出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆例6.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为（2）设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）例7. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点
5、，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例8.椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为( )A4B2 C8 D解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A4、点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内二、椭圆的简单几何性质1、范围：x2a2，y2b2，|x|a，|y|b椭圆位于直线xa和yb围成的矩形里。2、椭圆的对
6、称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的；坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。练习63、顶点椭圆和它的对称轴的交点叫椭圆的顶点；椭圆有四个顶点：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0,b)、B2(0, b)；线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴；长轴的长等于2a，短轴的长等于2b；a叫做椭圆的长半轴长，b叫做椭圆的短半轴长。在RtOBF中： |OF|c, |OB|=b，则|BF|a称OBF为椭圆的特征三角形。4、离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，即：因为，所以的取值范围是e越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁
7、；反之，e越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。例 （ B ）三、椭圆第二定义1、定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆。其中：定点是椭圆的焦点；定直线是椭圆相应的准线；常数是椭圆的离心率e。注意：e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2、椭圆的准线方程：焦点在x轴上：左准线，上准线；焦点在y轴上：下准线，上准线3、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，焦半径，其中：表示P到与F所对应的准线的距离。即： 其中：为左、右焦点，是离心率，x0为P点横坐标，左加右减
8、焦点在y轴上：其中:分别是椭圆的下、上焦点，y0为P点纵坐标，下加上减例（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_（答：-35/3）；4、最值问题例（2）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_（答：）；四、椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距 范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。五、直线与椭圆1、直线与椭圆的位置关系：（1）直线与椭圆相交；（2）直线与椭圆相
9、切；（3）直线与椭圆相离。 例（3）直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+）；消元得一元二次方程，利用恒成立解得2、椭圆的切线（1）椭圆上一点处的切线方程为：；（2）直线Ax+By+C=0与椭圆相切的条件为；（3）过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点分别为P1、P2，则直线P1P2（切点弦所在的直线）的方程为3、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长例11. 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据
10、弦长公式得：解得方程为说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例12. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，
11、所以， 从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出4、点差法求中点弦问题已知弦AB的中点M(x0，y0)，研究AB的斜率和方程AB是椭圆1(ab0)的一条弦，则AB的斜率为.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)A、B都在椭圆上，两式相减得0，即.故kAB例10. 已知椭圆（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程
12、；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为：（椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为：（椭圆内部分）（4）由得：， ，将平方并整理得， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ，即此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决六、椭圆相关问题1、共焦点的椭圆共焦点：则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类
13、问题常用待定系数法求解；同离心率：与椭圆离心率相同的椭圆系方程是2、椭圆的参数方程3、焦点三角形（椭圆的一点与两焦点所构成的三角形）思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 重要结论：周长为定值2(a+c)；当即为短轴端点时，=bc；例9 已知椭圆方程，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦定理知：由椭圆定义知： ，则得 故 4、焦点弦AB为椭圆的焦点弦（经过焦点），弦中点（1）弦长：（2）焦点弦中通径最短，长轴最长：11
