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1、第一章 测量误差分析,第一节 误差的基本概念,1.1.1 测量及分类,测量 测量是指人们用实验的方法，借助于一定的仪器或设备，将被测量与同性质的单位标准量进行比较，并确定被测量对标准量的倍数，从而获得关于被测量的定量信息。测量过程中使用的标准量应该是国际或国内公认的性能稳定的量，称为测量单位。,测量以确定被测参数之值为目的的一系列操作 。,测量的结果包括数值大小和测量单位两部分,数值的大小可以用数字表示，也可以是曲线或者图形,无论表现形式如何，在测量结果中必须注明单位。否则，测量结果是没有意义的。,测量过程的核心是比较,被测量能直接与标准量比较的场合并不多，大多数情况下，是将被测量和标准量变换
2、成双方易于比较的某个中间变量来进行的。,例如，用弹簧秤称重。被测重量通过弹簧按比例伸长，转换为指针位移，而标准重量转换成标尺刻度。这样，被测量和标准量都转换成位移这一中间变量，就可以进行直接比较。,测量工作分类,根据传感器是否与被测对象直接接触，可区分为接触式测量和非接触式测量,根据被测对象的变化特点又可分为静态测量和动态测量等,例如，用温度计测量温度，用电压表测量电压等。,.直接测量,通过测量仪器将被测量与同一物理量的标准量比较叫直接测量。,用事先分度或标定好的测量仪表，直接读取被测量测量结果的方法,直接测量是工程技术中大量采用的方法，其优点是直观、简便、迅速，但不易达到很高的测量精度。,例
3、如，测量直流电功率时，根据PIU的关系，分别对I、U进行直接测量，再计算出功率P。,.间接测量,通过直接测量与被测量有函数关系的其它量，再经过计算得到被测量的数值。,间接测量手续多，花费时间长，当被测量不便于直接测量或没有相应直接测量的仪表时才采用。,在间接测量中，测量结果y和直接测量值xi(i1，2，3)之间的关系式可用下式表示 yf(x1x2x3),1.1.2 测量误差及其分类,误差：测定值与被测参考真值的差，即： =l-X 式中： l测量值 X被测参数真实值 。,系统误差 保持一定值或按一定规律变化的误差. 例如:用秤砣质量不准的秤称物体,在相同的条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小
4、和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误差。其误差的数值和符号不变的称为恒值系统误差。反之，称为变值系统误差。变值系统误差又可分为累进性的、周期性的和按复杂规律变化的几种类型。,由于测量者的错误、疏忽大意引起的误差 例如:看错了小数点,写错了数字等.,过失误差,过失误差是一种显然与实际值不符的误差。 明显歪曲测量结果，又称作粗大误差,在相同的条件下,对同一参数进行重复测量,所得测定值不完全相同,误差具有各不相同的符号和数值 ,叫随机误差.,随机误差,随机误差的大小表明测量结果重复一致的程度,随机误差就个体而言无规律,不可估计和预测,但对总体而言服从统计规律,例对某一轴径测量9次
5、,数据如下24.774,24.778,24.771,24.780,24.772,24.777,24.773,24.775,24.774,系统误差,过失误差可以消除,随机误差不可避免,绝对误差愈小，说明指示值愈接近真值户测量精度愈高。但这一结论只适用于被测量值相同的情况，而不能说明不同值的测量精度。例如，某测量长度：的仪器；测量10mm的长度，绝对误差为0.001mm。另一仪器测量200mm长度，误差为0.01mm；这就很难按绝对误差的大小来判断测量精度高低了，这是因为后者的绝对误差虽然比前者大，但它相对于被测量的值却显得较小。为此，人们引入了相对误差的概念。,1.1.3 误差表示方法,绝对误差
6、 绝对误差是仪表的指示值x与被测量的真值x0之间的差值,绝对误差有符号和单位，它的单位与被测量相同。,例如:真值为20.00,测量值为20.05，,相对误差,相对误差是仪表指示值的绝对误差与被测量真值的比值，常用百分数表示在实际测量中，由于被测量真值是未知的，而指示值又很接近真值。因此，可以用指示值代替真值来计算相对误差,相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度,使用相对误差采评定测量精度，也有局限性。它只能说明不同测量结果的准确程度，但不适用于衡量测量仪表本身的质量。因为同一台仪表在整个测量范围内的相对误差不是定值。随着被测量的减小相对误差变大。为了更合理地评价仪表质量；采用了引用误差的
7、概念。,例如:测力计满刻度示值为19600N处的实际作用力为14778.4N，则引用误差为：,各点的引用误差未必一致。,引用误差,引用误差是绝对误差与仪表量程上的比值；通常以百分数表示。,对一台确定的仪表或一个检测系统，最大引用误差就是一个定值。,测量仪表一般采用最大引用误差不能超过的允许值作为划分精度等级的尺度。工业仪表常见的精度等级有0.1级，0.2级，0.5级，1.0级，1.5级，2.0级，2.5级， 5.0级。精度密度和精确度等级为1.0的仪表，在使用时它的最大引用误差不超过1.0，也就是说，在整个量程内它的绝对误差最大值不会超过其量程的1。,在具体测量某个量值时，相对误差可以根据精度
8、等级所确定的最大绝对误差和仪表指示值进行计算。,显然，精度等级已知的测量仪表只有在被测量值接近满量程时，才能发挥它的测量精度。因此，使用测量仪表时，应当根据被测量的大小和测量精度要求，合理地选择仪表量程和精度等级，只有这样才能提高测量精度。,仪器误差 仪器的结构不完善或调整不当引起的误差. 环境误差 由于环境变化引起的误差,例如温度变化压力变化等. 方法误差 由于测量方法或计算不完善引起的误差. 人员误差 由测试者的生理习惯疲劳产生的误差. 以上误差往往联合作用的.,1.1.4测量误差的来源,1.1.5 测量的精密度与准确度,准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际
9、值符合的程度越高。,精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。,精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。精确度是测量的正确度和精密度的综合反映。精确度高意味系统误差和随机误差都很小。精确度有时简称为精度。,射击误差示意图,图a的系统误差较小，正确度较高。但随机误差较大，精密度低。 图b的系统误差大，正确度较差。但随机误差小，精密度较高。 图c的系统误差和随机误差都较小，即正确度和精密度都较高。因此 精确度高。显然，一切测量都应当力求精密而又正确。,不确定
10、度是说明测量结果可能的分散程度的参数。可用标准偏差表示，也可用标准偏差的倍数K或置信区间的半宽度表示。,系统不确定度 随机不确定度,按误差性质分,研究过失误差与随机误差的区别,以便于舍弃含有过失误差的测定值; 研究系统误差的规律性,寻找把系统误差从随机误差中分离出去的方法; 研究随机误差的分布规律,分析和确定测量的精密度; 求出最接近被测参数真值的测量结果.,1.1.6 测量误差分析的任务,在测量中，随机误差是不可避免的。 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。 多次测量，测量值和随机误差服从概率统
11、计规律。 可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。,1.2.1 随机误差的正态分布律,第二节 随机误差,随机误差服从正态分布,其概率密度函数为: 式中:标准误差；,(7-3),随机误差 Vi 残差,高斯误差方程,下面是一组无系统误差和粗大误差的独立的等精度长度测量结果。用长300mm的钢板尺，测量已知长度为：836mm的导线，共测量了150次，即n=150。现将测量结果，对应的误差，各误差出现的次数ni等列于表中。,如果改变区间长度 的取值，相应的频率值(ni/n)也会发生变化，对同一组测量数据，频率直方图将不相同。如果 这个量作为纵坐标，就可以避免这个问题。当测量
12、次数 时，令 ，无限多个直方图中，顶点的连线就形成一条光滑的连续曲线，这条曲线称为随机误差正态分布曲线。,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,随机变量的数字特征 数学期望:反映其平均特性。其定义如下： X为离散型随机变量： X为连续型随机变量：,随机误差的分布规律,随机误差的概率密度函数为： 测量数据X的概率密度函数为： 随机误差的数学期望和方差为： 同样测量数据的数学期望E(
13、X) ，方差D(X),随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差,随机误差具有：对称性 单峰性 有界性 抵偿性,标准偏差定义为：,标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。 标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,+ - -误差出现的概率相等 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，, f(),区间概率 在 范围内,曲线下的面积表示随机误差出现在这一区间的概率. 例如求随机误差在范围 的概率.,根据a、求出 k=a/,查概率积分表，求得(k),（74）,1.2.2 等精
14、度测量的最可信赖值,求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？,规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即： 算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。,有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？,证1: ,根据随机误差符号的规律性,证2：根据最小二乘法原理 被测参数的最可信赖值是能使各测定值残差平方和为最小的那个数。 设最可信赖值为L . 要使S最小必须满足：,所谓等精度测量是指用相同精度的仪器在 相同的条件对同一参数进行测量。 最可信赖值是算术平均值 设对同一参数等精度重复测定n次，得到n个测定值： 则,最
15、可信赖值：,测量的平均值只是真值的近似值,（77）,1.2.3.测量列的精密度参数,标准误差 表示测量列的精密度,越小测量列的精密度就愈高,分析：根据（74）,误差的绝对值大于 的概率为0.0027， 在有限次测量时： 误差大于的事件是不可能的 因此它可作为异常数据的判别准则。,在式（77）中是用误差来计算精密度的。但在实际测量中真值求不出，因此也不可能得到误差,标准误差的估计值,算术平均值：,残差： 实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：,无偏估计,【例1.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,解：平均值 用公式 计算各
16、测量值残差列于上表中 标准偏差的估计值,概然误差 概率为0.5对应的误差。即 时对应的误差 查概率积分表：K=0.6745 平均算术误差 随机误差绝对值的算数平均值。,测量列的精密度参数其他表示方法,平均算数误差实际上是随机误差绝对值的数学期望,证明： 例，对某一轴颈测量9次，数据如下：24.774，24.778，27.771，24.780，24.772，24.777，24.773，24.775，27.774 求精密度参数,残差,测量结果 所谓测量结果是指测定值的算术平均值，即最可信赖值.一个有限的测量列是从无限的样本中任意抽取的样本,而这样的样本有无限多.,1.2.4 测量结果的精密度参数,平均值
