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1、 大学物理 上册 练习题及解答 大学物理练习 （上册） 习题参考解答 共 26 页 Created by WXQ 2009-05-26 1第一部分 质点运动学 11 一质点沿直线运动，运动方程为 x(t) = 6t2- 2t3试求： （1）第 2s内的位移和平均速度； （2）1s末及 2s末的瞬时速度，第 2s内的路程； （3）1s末的瞬时加速度和第 2s内的平均加速度 解答 （1）质点在第 1s末的位置为： x(1) = 612- 213= 4(m) 在第 2s末的位置为： x(2) = 622- 223= 8(m) 在第 2s内的位移大小为： x = x(2) x (1) = 4(m)，
2、经过的时间为 t = 1s，所以平均速度大小为： v = x/ t = 4(ms-1) （2）质点的瞬时速度大小为： v(t) = dx/dt = 12t - 6t2， 因此 v(1) = 121 - 612= 6(ms-1)， v(2) = 122 - 622= 0 质点在第 2s内的路程等于其位移的大小，即 s = x = 4m （3）质点的瞬时加速度大小为： a(t) = dv/dt = 12 - 12t， 因此 1s末的瞬时加速度为： a(1) = 12 - 121 = 0， 第 2s内的平均加速度为： a = v(2) - v(1)/ t = 0 6/1 = -6(ms-2) 注意
3、第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是 1秒 12 一质点作匀加速直线运动，在 t = 10s内走过路程 s = 30m，而其速度增为 n = 5倍试证加速度为22( 1)(1)nsant=+，并由上述数据求出量值 证明 依题意得 vt = nvo，根据速度公式 vt = vo + at，得 a = (n 1) vo/t， (1) 根据速度与位移的关系式 vt2= vo2+ 2as，得 a = (n2 1) vo2/2s，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：22( 1)(1)nsant=+ 计算得加速度为：22(5 1)30(5 1)10a=+= 0.4(ms-2) 13 一人乘摩托
4、车跳越一个大矿坑，他以与水平成 22.5的夹角的初速度 65ms-1从西边起跳， 准确地落在坑的东边 已知东边比西边低 70m， 忽略空气阻力， 且取 g = 10m s-2 问： （1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？ （2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ 解答 方法一：分步法 （1）夹角用 表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为 vy0 = v0sin = 24.87(ms-1) 取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式 vt - v0 = at， 这里的 v0就是 vy0， a = -g；当人达到最高点时， vt = 0，所以上升到最高点的时间为
5、t1 = vy0/g = 2.49(s) 再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式： vt2- v02= 2as， 可得上升的最大高度为： h1 = vy02/2g = 30.94(m) 人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为; h2 = h1 + h = 100.94(m) 根据自由落体运动公式 s = gt2/2，得下落的时间为:222htg= = 4.49(s) 因此人飞越的时间为： t = t1 + t2 = 6.98(s) 70m 22.5 图 1.3大学物理练习 （上册） 习题参考解答 共 26 页 Created by WXQ 2009-05-26 2人飞越的水平速度为;
6、vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)， 所以矿坑的宽度为： x = vx0t = 419.19(m) （2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为： vy = gt = 69.8(ms-1)， 落地速度为： v = (vx2+ vy2)1/2= 92.08(ms-1)， 与水平方向的夹角为： = arctan(vy/vx) = 49.30，方向斜向下 方法二：一步法 取向上为正，人在竖直方向的位移为 y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程 201sin 02gt v t y+=， 解得：0220(sin sin 2 )tv v gyg= 这里 y =
7、-70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为： t = 6.98(s) 由此可以求解其他问题 14 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 d v/dt = -kv2， k为常数 （1）试证在关闭发动机后，船在 t时刻的速度大小为011ktvv= + ； （2）试证在时间 t内，船行驶的距离为01ln( 1)xvktk= + 证明 （1）分离变量得2ddvktv= ， 故 020ddvtvvktv= ， 可得： 011ktvv=+ （2）公式可化为001vvvkt=+， 由于 v
8、 = dx/dt，所以：00001dd d(1)1()vx tvktvkt k vkt= +积分 00001dd(1)(1 )xtx vktkvkt=+ 因此 01ln( 1)xvktk= + 证毕 讨论当力是速度的函数时，即 f = f(v)，根据牛顿第二定律得 f = ma 由于 a = d2x/dt2， 而 d x/dt = v， a = dv/dt， 分离变量得方程：dd()mvtf v= ， 解方程即可求解 在本题中， k已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的 n次方成正比，则 dv/dt = -kvn （1）如果 n = 1，则得ddvktv= ， 积分得 ln v
9、= -kt + C当 t = 0 时， v = v0，所以 C = lnv0， 因此ln v/v0 = -kt， 得速度为 ： v = v0e-kt 大学物理练习 （上册） 习题参考解答 共 26 页 Created by WXQ 2009-05-26 3而d v = v0e-ktdt，积分得：0ektvx Ck= + 当 t = 0 时， x = 0，所以 C = v0/k，因此0(1-e )ktvxk= （2）如果 n1，则得ddnvktv= ，积分得11nvkt Cn=+ 当 t = 0 时， v = v0，所以101nvCn=，因此11011(1)nnnktvv=+ 如果 n = 2，
10、就是本题的结果 如果 n2，可得1(2)/(1)0201 ( 1) 1(2)nnnnnvktxnvk+ =，读者不妨自证 15 一质点沿半径为 0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求： （1） t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度； （2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时， 为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？ 解答 （1）角速度为 = d /dt = 12t2= 48(rads-1)， 法向加速度为 an = r2= 230.4(ms-2)； 角加速度为 = d /dt = 24t = 48(rads-2)， 切
11、向加速度为 at = r = 4.8(ms-2) （2）总加速度为 a = (at2+ an2)1/2， 当 at = a/2时，有 4 at2= at2+ an2，即 3ntaa= 由此得23rr= ，即 22(12 ) 24 3tt= ， 解得 33/6t = 所以 324 2(1 3/3)t =+ = + =3.154(rad) （3）当 at = an时，可得 r = r2， 即： 24 t = (12t2)2， 解得 ： t = (1/6)1/3= 0.55(s) 16 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为 v = 300ms-1，方向与水平线夹角为 30而斜向下，此后飞机的加速
12、度为 a = 20 3 ms-2，方向与水平前进方向夹角为 30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？ 解答 建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为 v0x = v0cos ， v0y = v0sin 加速度的大小为 ax = acos ， ay = asin 运动方程为2012xxx vt at=+ ， 2012yyyvt at= + 即 201cos cos2x vtat=+ ， 201sin sin2yv t a t= + 令 y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为： t = 0（舍去） ；02sin10 3sinvta=(s) 将
13、 t代入 x的方程求得 x = 9000m yxO v0a axayv0xv0y大学物理练习 （上册） 习题参考解答 共 26 页 Created by WXQ 2009-05-26 4注意 选择不同的坐标系，如 x 方向沿着 a 的方向或者沿着 v0的方向，也能求出相同的结果 17 一个半径为 R = 1.0m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A在重力作用下，物体 A从静止开始匀加速地下降，在 t = 2.0s内下降的距离 h = 0.4m求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度 解答 圆盘边缘的切向加速度大小等于物体 A 下
14、落加速度由于212that=， 所以 at = 2h/ t2= 0.2(ms-2) 物体下降 3s末的速度为 v = att = 0.6(ms-1)， 这也是边缘的线速度，因此法向加速度为2nvaR= = 0.36(ms-2) 18 一升降机以加速度 1.22ms-2上升，当上升速度为 2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距 2.74m计算： （1）螺帽从天花板落到底面所需的时间； （2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离 解答 在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为 21012hvt at=+ ； 螺帽做竖直上抛运动，位移为22012hvt gt= 由题意得 h = h1 - h2，所以21()2hagt=+， 解得时间为 2/( )thag=+= 0.705(s) 算得 h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为 0.716m 注意 以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为 a + g，而初速度为零，可列方程 h = (a + g)t2/
