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1、函数法证明不等式(精选多篇) 函数法证明不等式 已知函数f(x)=x-sinx,数列an满足0 证明0 证明an+10 构造函数g(x)=(1/6)x3-x+sinx(0 g(x)=x-sinx,由(1)知g(x)0,所以g(x)单增,g(x)g(0)=0 所以g(x)单增且g(x)g(0)=0,故不等式成立 因此an+1ab0,求证: p19第9题:已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证： p12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a二、利用分式函数的奇偶性证明不等式 【例2】证明不等式：(x0) 证明：构造函数f(x)= f(-x)= =f(x) f(x)是偶函数，其图像关于y轴
2、对称。 当x0时，0，f(x)0; 当x0,故f(x)=f(-x)0 0，即 三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式 【例3】已知|a|1，|b|1，|c|1，求证：a+b+c证明：构造函数f(c)=(1-ab)c+a+b-2 |a|1，|b|1 -10 f(c)的(-1，1)上是增函数 f(1)=1-ab+a+b-2=a+bab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)0 f(1)0，即(1-ab)c+a+b-20 a+b+c。 构造函数法证明不等式 河北省赵春祥 不等式证明是中学数学的重要内容之一由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使其成为各种考试命题
3、的热点问题，函数法证明不等式就是其常见题型即有些不等式可以和函数建立直接联系，通过构造函数式，利用函数的有关特性，完成不等式的证明 一、构造一元一次函数证明不等式 例1设0x1，0y1，0z1，求证：x(1y)y(1z)z(1x)1 证明：构造一次函数f(x)=x(1y)y(1z)z(1x)，得 f(x)=(1yz)x(yzyz)其中0x1， 0x1，0y1，0z1，11yz1 当01yz1时，f(x)在(0，1)上是增函数，于是 f(x)f(1)=1yz1； 当11yz0时，f(x)在(0，1)上是减函数，于是 f(x)f(0)=yzyz=1(1y)(1z)1； 当1yz=0，即yz=1时，
4、f(x)=yzyz=1yz1 综上，原不等式成立 例2已知|a|1，|b|1，|c|1，求证：abc2abc 证明：构造一次函数f(x)=(bc1)x2bc，这里，|b|1，|c|1，|x|1，则bc1f(?1)=1bc2bc=(1bc)(1b)(1c)0， f(1)=bc12bc=(1b)(1c)0， 1x1，一次函数f(x)=(bc1)x2bc的图象在x轴上方，这就是说，当|a|1，|b|1，|c|1时，有(bc1)a2bc0， 即abc2abc 二、构造一元二次函数证明不等式 例3若a、b、cr+，求证：a2b2c2abbcca 证明构造函数f(x)=x2(bc)xb2c2bc 因为=(
5、bc)24(b2c2bc)=3(bc)20， 又因为二次项的系数为正数，所以x2(bc)xb2c2bc0对任意实数恒成立以a替换x得：a2(bc)ab2c2bc0，即a2b2c2abbcca 例4已知a、b、c、d、e是满足abcde=8，a2b2c2d2e2=16的实数，求证：0e 165 证明：构造一元二次函数 f(x)=4x 2(abcd)a2b2c2d2=(xa)2(xb)2(xc)2(xd)20， 又二次项系数为正数， =4(abcd)216(a2b2c2d2)=4(8e)216(16e2)0，解之得0e 165 故不等式成立 三、构造单调函数证明不等式例5已知a0，b0，求证：证明
6、：构造函数f(x)= x1?x a1?a b1?b x a?b1?a?b ，易证f(x)= 1?x =1 1?x 当x0时单调递增 ababab0，f(abab)f(ab)故 a1?a b1?b = a?b?2ab(1?a)(1?b) a?b?ab1?a?b?ab) 14 =f(abab)f(ab)= 13n?2 13n?1 a?b1?a?b 例6对任意自然数n求证：(11)(1 14 )(1 13n?2 )3n?1 证明：构造函数f(n)=(11)(1 13n?1 )(13 ， 由 f(n?1)f(n) (1?)33n?1 = 3n?4 =(3n?2) (3n?1)(3n?4) 1， f(n
7、)0，f(n?1)f(n)，即f(n)是自然数集n上的单调递增函数， (11)(1 14 )(1 13n?2 )33n?1 . 对构造函数法证明不等式的再研究 作者：时英雄 ：理科考试研究高中xx年第10期 某刊一文阐述了构造法证明不等式的九个模型，笔者深受启发，对其中作者介绍的构造函数模型进行了挖掘，着重对构造函数模型，利用函数的有关性质解决不等式问题进行了再研究，以供大家参考。 构造函数法证明不等式 一、构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式 【例1】证明不等式：|a|?|b|a?b| 1?|a|?|b|1?|a?b| 证明：构造函数f(x)= x 1?x(x0)则f(x)=x1?x
8、=1-1 1?x 在?0，?上单调递增 f(|a|+|b|)= |a|?|b|1?|a|?|b|f(|a+b|)=|a?b| 1?|a?b| 且|a|+|b|a+b| f(|a|+|b|)f(|a+b|)即所证不等式正确。 二、利用分式函数的奇偶性证明不等式 【例2】证明不等式：x1?2xx 2（x0）证明：构造函数f(x)=x1?2 x ?x 2(x?0)f(-x)=-xx-x?2x1-2-x?2?2x?1?x2?x1?2x 1-(1-2x )?x2?x1?2x?x2=f(x) f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。当x0时，1?2x 0，f(x)0； 当x0时，-x0,故f(x)=f(-x
9、)0x1-2x?x20，即x1?2 x x 2 三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式 【例3】已知|a|1，|b|1，|c|1，求证：a+b+cabc+2。 证明：构造函数f(c)=(1-ab)c+a+b-2 |a|1，|b|1 -1ab1，1-ab0 f(c)的（-1，1）上是增函数 f(1)=1-ab+a+b-2=a+bab()-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)0f(1)0，即(1-ab)c+a+b-20a+b+cabc+2 四、构造二次函数 利用判别式法证明不等式 【例4】已知a，b，cr，(a+c)(a+b+c)0，求证：(b-c)24a(a+b+c)。证
10、明：构造函数f(x)=ax2+(-b+c)x+(a+b+c)(a0) 则f(0)=a+b+c，f(1)=2(a+c) 由(a+c)(a+b+c)0知：f(0)?f(1)0f(x)=0有两个不等的实数根。0，即(b-c)24a(a+b+c)当a=0时，显然成立。(b-c)24a(a+b+c) 【例5】已知实数a，b，c满足a+b+c=5，a2+b2+c2 =9，求证a，b，c的值都不小于1，又都不大于213 。 证明：构造函数f(x)=2x2+2(a+b)x+a2+b2=(x+a)2+(x+b)20 20 =2(a+b)2-42(a2+b2 )0 =4(5-c)2-8(9-c2 )0(c-1)(3c-7)0 1c213 同理可证：1a21，1b2133 。 【例6】已知a，b，cr，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)0，并指出等号何时成立？ 证明：令f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2 +3bc =(c+3b)2-4(c2+3b2+3bc)=-3(b+c)2 0恒成立二次项系数10 f(a)0，即a2+ac+c2+3b(a+b+c)0 又当=0，即b+c=0时f(a)=(a+b)2 =0
