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1、Chapter 3,第三章 线性控制系统的能控性和能观测性 Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems,引言,已经知道现代控制理论是建立在状态空间描述的基础上的。状态空间表达式包括状态方程和输出方程。,能控性和能观测性由Kalman于1960年提出。与状态空间描述相对应，能控性是u(t)支配x(t)的能力，回答u(t)能否使x(t)作任意转移的问题；能观性是y(t)反应x(t)的能力，回答是否能通过y(t)的测量来确定x(t)的问题。,引言,古典控制理论中：Y(s)既是输出又是被控量 (1)Y(s)
2、肯定与R(s)有关系； (2)对一个实际物理系统，Y(s)肯定是可测量的。 因此，只要满足稳定，肯定能控能观。,现代控制理论中，被控制量是x（状态变量）， 问题是：,1、每个状态x(t)是否受u(t)控制？,2、状态变量在系统内部，能否通过观测y(t)来测量x(t)？,引言,设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t) 能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。,同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状 态，以便实现状态反馈控制。,总之，能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是
3、以能控性和能观测性为存在条件的。,引言,y= x1+x2,x1或x2都能对y产生影响，通过y能确定x1或x2，能观测。,例,分析：,x1与输入u无关，不能控，x2能控，x1,x2不完全能控。,教学目标,1、掌握能控性和能观性定义及其判定准则；,2、掌握能控性和能观性之间的对偶关系；,3、学会化能控标准型和能观标准型；,4、能对已知系统按能控和能观性进行结构分解；,5、传递函数矩阵的实现方法,重点和难点,1、能控性和能观性定义及其判定准则；,2、能控性和能观性之间的对偶关系；,3、能控标准型和能观标准型；,4、按能控和能观性对系统的结构分解；,5、传递函数矩阵的实现,主要内容,3.1 能控性定义
4、,3.2 线性连续定常系统的能控性,3.5 时变系统的能控性和能观性,3.4线性离散时间系统的能控和能观测性,3.8 线性系统的结构分解,3.9 传递函数矩阵的实现问题,3.3线性连续定常系统的能观性,3.6 对偶原理,3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限的时间区间 内，使系统由某一初始状态 转移到指定的任一终端状态 ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则系统是状态完全能控的,简称系统是能控的。,3.1 能控性定义,1、线性连续定常系统的能控性定义,几点说明：,1）能控性定义另述：定常系统的初始状态 ，可以是状态空间中任意非零
5、的有限点，终端状态 为状态空间的原点。,3.1 能控性定义,2）也可以指定 ，即状态空间原点，而终端状态 为状态空间中任意非零点。(状态的能达性) (对线性定常系统,其能控性和能达性是一致的),4）能控性考察的是系统在控制作用下，状态矢量的变化情况，与输出无关，因而只需状态方程。,3）在讨论能控性问题时，不计较u的约束，其取值不唯一，只要能使状态从 到达 即可，而不讨论到达的轨迹；,5）分析系统的能控性，有时简记为矩阵对(A,B)的能控性。,3.1 能控性定义,若存在控制序列 ，能使第k步的某个状态 在第l步到达零状态，即 ,则此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态都是能控的，则系统是状态
6、完全能控的。,2. 线性连续时变系统的能控性定义,3. 离散时间系统的能控性定义,定义与定常系统类似。但是，考虑到状态向量的转移与初始时刻有关，要强调在t0时刻的能控性.,(考虑单输入）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,一、具有标准型的系统能控性判别 通过对标准型控制矩阵分析得到能控性。,二、直接从A与B判别系统的能控性,三、由传递函数判断能控性（SISO系统）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,1、若A的特征值互异，则 为对角线标准 型，此时系统状态完全能控的充要条件是： 的各行元素没有全为0的。（非奇异变换不改变系统 的能控性）,一、具有标准型的系统能控性判别,例：,3.2 线性
7、连续定常系统的能控性判别,是系统的能控状态。,粗线能控子空间,完全能控,不完全能控,完全能控,（1）,（2）,（3）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,例：,（4）,（5）,（6）,不完全能控,完全能控,不完全能控,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,2、若A具有重特征值：（1）每个重根只对应一个约旦块，则能控的充要条件是： 与每个约旦块最后一行对应的行没有元素全为0的。（2）若有重根对应一个以上的约旦块，则能控的充要条件是： 中与每个重根的约旦块最后一行对应的行均是行线性无关的。,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,例：,（1）,（b2不为）,（2）,3.2 线性连续定常系统的能控性
8、判别,完全能控,不完全能控,完全能控,不完全能控,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,（3）,（4）,（5）,（6）,不完全能控,完全能控,不完全能控,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,（7）,（8）,（9）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,完全能控,不完全能控,（10）,（11）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,（12）,均为行线性无关，完全能控。,（13）,能控标准型,（96,例3.3）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,因此，能控性取决于系统的结构、参数，以及控制作用的施加点。,通过以上分析得到：,系统的能控性完全取决于系统矩阵A和控制矩阵B。,因为系统矩阵是由系统
9、的结构和内部参数决定的，控制矩阵是与控制作用的施加点有关。,不能控的部分在结构图上表现为一个与u无关的方块。,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,二、直接从A与B判别系统的能控性,其完全能控的充要条件是：,其中，Uc称为能控性判别阵，有时称为能控性矩阵。,线性定常系统,注 如果系统是单输入系统，即控制变量维数为1,则系统的状态完全能控性的判据为,（非奇异）,（行满秩）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,线性方程组有解的充要条件。,分析：,（由初始状态的任意性。）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,完全能控,例（1）,不完全能控,（2）,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,1、对于秩
10、的判断，有时用,说明：,、对多输入系统计算秩的时候，有时不必把Uc的列全求出来就可以做出判断。,3、以上只讨论是否能控，而没求具体的u。满足条件的u往往有无穷多个。,没有零极点重合情况。,存在零极点对消，故不可控,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,消去的极点对应的就是不可控模态。,三、由传递函数判断能控性（SISO系统）,两边去拉氏变换：,UX之间的传递函数：,状态完全能控的充要条件是：,例：,3.2 线性连续定常系统的能控性判别,（2）,完全能控,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,控制系统大多采用反馈形式。在现代控制理论中，反馈信息是由系统的状态变量组合而成的。但并非所有的状态变量都
11、能测取到，于是提出能否通过对输出测量获得全部状态变量的信息，即系统的能观测问题。,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,如果对任意给定的输入u，在有限的观测时间 ，使得根据 期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。若每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或系统是能观的。,一、能观性定义,1）能观性表示输出y(t)反映内部变量x(t)的能力，与控制作用无直接关系。因此只从齐次状态方程和输出方程出发。,几点说明：,2）定义中是对初始状态 的确定，是因为可由 得到任意时刻的状态。,二、直接从A与判别系统的能观性,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,
12、一、具有标准型的系统能观性判别,通过对标准型控制矩阵分析得到能观性,三、由传递函数判断能观性（SISO系统）,系统能观的充要条件是： 中没有元素全为0的列。,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,完全能观,一、 具有标准形式的判别方法,1、A的特征值互异，则,例（1）,2、A有重特征值时，（1）若每个重根只对应一个约旦块，则能观的充要条件是： 中对应每个约旦块的首列元素不全为0。（2）若有重根对应一个以上的约旦块，则能观的充要条件是； 中与每个重根的约旦块第一列对应的列均是列线性无关的。,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,不完全能观,完全能观,(2),例(1),3.3 线性连续定常系统的能
13、观性判别,（2）,（3）,状态完全能观测,都是列线性无关的，所以能观.,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,(4),系统 完全能观的充要条件是：,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,二、直接由A、C矩阵判别系统的能观性,Uo能观性矩阵或（A,C）对,3.3 线性连续定常系统的能观测性,证明：,系统能观测性与输入向量无关，令u(t)=0, t0=0,可见，根据在0,tf量测的y(t),能将初始状态x(0)唯一确定下来的充要条件即证。,3.3 线性连续定常系统的能观测性,例：对于,判断系统的能观性。,解：由,即：,所以系统能观。,能观测标准型,3.3 线性连续定常系统的能观性判别,例,3.3
14、线性连续定常系统的能观测性判别,不完全能观测,不完全能观测,完全能观测,完全能观测,3.3 线性连续定常系统的能观测性判别,2、线性定常单输入单输出系统，状态完全能控、完全能观测的充分必要条件是，其输入输出函数。,三、由传递函数判别系统的能观性（SISO系统）,1、线性定常单输入单输出系统，状态完全能观测的充分必要条件，其初始状态输出的传递函数,无相消因子，即无零极点对消现象。,无相消因子，即无零极点对消现象。,3.4 线性离散定常系统的能控能观能控性,一、线性离散定常系统的能控性,1、能控性定义,对于上述系统，如果存在控制向量序列u(k),u(k+1),u(N-1)，使系统从第k步的状态向量
15、 （非零向量）开始，在第N步到达零状态，即 ，其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，称系统是状态完全能控的，简称能控。,3.4 线性离散定常系统的能控能观能控性,离散定常系统 状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵 行满秩。,如果对任意初态X(0)=X0，可找到一个阶梯控制信号，经过有限个采样周期使初始状态转移到零状态，则称此状态是完全能控的。,2、能控性判据,可表述为：,即：,证明：略，见107下,3.4 线性离散定常系统的能控能观能控性,1、单输入线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是，矩阵h, Gh, Gn-1h的秩为n
16、。（满秩）,2、判据说明，只要满足秩的条件，一定存在控制序列，使得n阶定常离散系统的任一个非零初态在第n步上一定能转移到零状态。,、一个n阶定常离散系统的某一非零初态若在第n步上不能转移到零状态，则永远不能转移到零状态。,注：,、对多输入系统，能控系统一般在第k（kn)步就能将任一个非零初态转移到零状态。,5、如果H为方阵，且非奇异，则只需一个采样频数就能将任一个非零初态转移到零状态。,3.4 线性离散定常系统的能控能观能控性,试判定系统的状态能控性。,系统状态完全能控。,例：系统的状态方程为,解：,3.4 线性离散定常系统的能控能观能控性,先计算出矩阵H,GH的秩,例,分析下列离散系统的能控性,由此既可判定系统是完全能控的。不需求出全部 能控性矩阵。,解：,3.4 线性离散定常系统的能控能观能观性,2、判据：线
