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1、第二章 环境数学模型,四川大学建筑与环境学院 环境科学与工程系,问题讨论1,某实验室正在研究一种污染物在某一处理过程中的降解规律，希望其降解规律的研究能对工程实际有指导意义， 讨论 ： 其研究结果的最佳表达形式是什么？为什么？,2.1 数学模型定义与特征,根据所观察到的现象，及实践经验，归结成一套反映其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。广义的数学模型既包含由数学符号组成的数学公式，也包括用框图或文字表达的计算方法和计算过程。,数学模型的特征,数学模型的分类,1 按变量和时间的关系： 动态模型与稳态模型 2 按用途分类 模拟模型和管理模型,讨论问题2
2、,延续上一个讨论问题， 问题： 如何建立这种污染物的降解规律的数学模型？,1 环境系统数学模型的建立的几个阶段,1、准备阶段 2、系统认识阶段； 3、系统建模阶段； 4、模型参数估计； 5、模型求解阶段； 6、模型检验阶段；,建立数学模型的步骤,1.1 准备阶段,建模者要在弄清问题的社会背景、建模的目的或目标的前提下，尽可能详细而又全面的收集和建模有关的资料。 例：我们要建一个工业园区的工业污水集中处理厂，需要收集哪些相关资料。,1.2 系统认识阶段,1、分析系统有关成分和因素； 2、对数据进行整理与分析，通常要绘制变量的时间过程线，空间关系曲线或表格，从中考察和分析事物的时空变化规律。,1.
3、3 系统建模阶段,1、状态空间法(质量平衡法) 2、量纲分析法； 3、概率统计法； 4、数量化理论法； 5、灰色系统建模法； 6、人工神经网络； 7、层次分析法； 8、投影寻踪法；,模型的结构选择,(1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。 (2)灰箱模型 即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。 (3)黑箱模型 即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获
4、得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。,1.4 模型参数估计,由于环境模型使用的一般都是灰箱模型，其中至少存在一个待定参数，需要通过实验观测数据进行估计。 1、经验公式法； 2、图解法； 3、最小二乘法； 4、网格法； 5、最速下降法； 6、遗传算法；,1.4.1 经验公式法,是人们在研究某一具体问题时，有些参数的使用频率很高，研究者在积累了大量数据后提出的经验计算方法。 如布里吉斯提出的计算大气污染物扩散参数的幂函数表达式,1.4.1 经验公式法,经验公式法即时通过对所估
5、计参数对相关因素的关系曲线进行函数选配，并拟合而得。 在使用经验公式时，要求系统的条件与总结经验公式时的系统条件相近，否则会有较大偏差。,1.4.2 图解法,如果系统模型公式可以直接描述为一条直线，或经变量变换后能转换为直线时，均可用图解法估计参数。,1.4.3 最小二乘法,又称线性回归分析，适合于自变量 与因变量 y 之间呈线性关系的情况，或通过数学变换后可转换为线性关系的情况。 线性回归分析的原理基于以下两点假设： (1) 所有自变量的值均不存在误差，因变量的值 则含有测量误差； (2) 与各测量值 拟合得最好的线性方程 是能使各测量值 与线性方程各计算值 的偏差的平方和,1.4.3 最小
6、二乘法,最小的线性方程。因此，根据极值存在条件，对一元线性分析，有,1.4.3 最小二乘法,1.4.4 网格法,1.4.5 最速下降法,选定一初始点，从此点出发，沿其负梯度方向取一定步长进行寻查，求得在此方向上的近似极小点， 然后再从此点出发，沿新的负梯度方向也取一定的步长进行寻查，如此继续，直到满足给定的精度。,1.5 模型求解阶段,传统解析方法 计算机数值模拟,1.6 模型检验阶段,1.6.1 模型的精确度检验， 1.6.2 模型的可靠性检验。,1.6.1 模型的精确度检验,1、图形表示法 2、相关系数法 3、相对误差法,1.6.1图形表示法,1.6.2 相关系数法,1.6.3 相对误差法
7、,相对误差的定义 如果有n组观测值与相应的计算值，可得到n个相对误差值，将这n个误差值从小到大排列，可以求得小于某一误差值的误差出现的频率，以及累积频率为10%，50%，90%的误差，通过分析这三个误差的数值，可以确定模型的精度。,1.6.3 相对误差法,中值误差与统计学上的的概率误差是一致的，因此中值误差的数值既可以从误差分布的累积曲线上求出，也可以按下式计算：,1.6.2 模型的可靠性检验,任何数学模型都是建立在一些参数基础上的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。这些参数多是用一组或几组输入、输出数据来确定。 而任何数据的获取都会存在一定的误差，这样必然会导致所估计的参数存在一定的不确定性。 模型
8、的可靠性即是估计这种不确定性对模型的精度有多大的影响。,1.6.2 模型的可靠性检验,参数的不确定性可通过对模型的灵敏度分析来实现。 通常，灵敏度是指一个系统的输出对输入的响应程度。 如果输入信号经过系统输出后被放大了，那么这就是一个灵敏系统，反之，就不灵敏。,1.6.2 模型的可靠性检验,通过对模型的灵敏度分析不仅可以估计模型计算结果的偏差，同时还有助于建立低灵敏度系统，这种系统在运行上比较可靠，有助于确定合理的设计裕量，这比盲目地给定安全系数要合理多了。,1.6.2 模型的可靠性检验,在环境系统的模拟、控制中，灵敏度的研究主要包括两个方面： 一是状态与目标对参数的灵敏度，即参数的估计误差对
9、状态和目标产生影响，这种影响有多大？如何确定参数估计的必要精度？ 另一个是目标对决策的灵敏度。在污染控制规划中，决策变量的变化对目标有很大影响，如何确定这种影响的大小。如何决定合理的决策变量。,1.6.2.1 状态与目标对参数的灵敏度,1、单个变量时的灵敏度，,1.6.2.1 状态与目标对参数的灵敏度,为状态变量和目标变量对参数的一阶灵敏度系统数。,1.6.2.1 状态与目标对参数的灵敏度,1、多变量时的灵敏度， 设一个最优化模型为 式中，G为n维向量函数，,根据多元函数的微分方法，状态变量(n维)对参数向量 ( p 维)的一阶灵敏度系数组成一个n X p 阶矩阵：,目标函数对参数向量的一阶灵敏度系数则组成 一p维行向量：,参数的变化除直接影响目标函数外，还通过状态 变量作用于目标函数，将状态方程对参数微分：,
